2017-2018学年高中数学 第一章 三角函数 1.4.2 正弦函数、余弦函

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质

一、选择题(本大题共7小题，每小题5分，共35分) 1．当－π2≤x≤π2时，函数f(x)＝2sin(x ＋π

3)有( )

A ．最大值1，最小值－1

B ．最大值1，最小值－1

2

C ．最大值2，最小值－2

D ．最大值2，最小值－1

2．函数y ＝2cos ? ????－x ＋π2的最小正周期是( ) A.

π2 B.π

4

C ．2π

D ．π

3．下列关系式中正确的是( ) A ．sin 11°<cos 10°<sin 168° B ．sin 11°<sin 168°<cos 10° C ．sin 168°<sin 11°<cos 10° D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°

4．已知函数f(x)＝sin(2x －π

6)，则函数f(x)的图像的一条对称轴的方程是( )

A ．x ＝π12

B ．x ＝π6

C ．x ＝5π12

D ．x ＝π3

2 5．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )

A ．0 B.π4 C.π2

D ．π 6．若函数f(x)＝sin ?

????ωx ＋π6(ω>0)图像的两条相邻的对称轴之间的距离为π2，且该函数图像关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈?

?????0，π2，则x 0＝( ) A.π12 B.5π12 C.π6 D.π4

7．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2

]上单调递减，则ω＝( )

A ．3

B ．2 C.32 D.23

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)

8．函数y ＝sin(2x －π3

)的最小正周期为__________． 9．函数y ＝sin(π＋x)，x ∈????

??－π2，π的单调递增区间为________． 10．当x ∈[π6，7π6

]时，函数y ＝3－sin x －2cos 2x 的最小值是________，最大值是________．

11．定义在R 上的奇函数f(x)对于任意x ∈R ，有f(x)＝f(2－x)，若tan α＝12

，则f(－10sin αcos α)的值为________．

三、解答题(本大题共2小题，共25分)

12．(12分)(1)求函数y ＝3－2sin x 取得最大值、最小值时自变量x 的集合，并写出函数的最大值、最小值；

(2)求函数f(x)＝2sin 2x ＋2sin x －12，x ∈??????π6

，5π6的值域．

13.(13分)已知函数f(x)＝2cos ? ??

??π3－2x . (1)若f(x)＝1，x ∈????

??

－π6，π4，求x 的值； (2)求f(x)的单调递增区间．

14．(5分)定义在R上的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列关系中正确的是( )

A．f(sin α)>f(cos β)

B．f(cos α)<f(cos β)

C．f(cos α)>f(cos β)

D．f(sin α)<f(cos β)

15．(15分)若不等式－1≤sin2x＋4cos x＋a2≤13对一切实数x均成立，求实数a的取值范围．

3

4 1．D [解析] 因为－π2≤x≤π2，所以－π6≤x＋π3≤5π6

， 所以－12≤sin(x＋π3

)≤1，所以－1≤f(x)≤2. 2．C [解析] 函数y ＝2cos ?

????－x ＋π2＝2sin x ，∴函数的最小正周期是2π. 3．B [解析] cos 10°＝sin 80°，sin 168°＝sin(180°－12°)＝sin 12°.∵y ＝sin x 在区间[0°，90°]上是增函数，又∵11°<12°<80°，∴sin 11°<sin 12°<sin 80°，即sin 11°<sin 168°<cos 10°.

4．D [解析] 依题意，可令2x －π6＝π2＋k π(k ∈Z )，∴x ＝π3＋k π2

(k ∈Z )．故选D. 5．C [解析] 因为y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝π2

＋k π，k ∈Z ，所以函数y ＝sin(x ＋φ)的图像的对称轴应满足x ＋φ＝π2

＋k π，k ∈Z .又y ＝sin(x ＋φ)是偶函数，所以x ＝0是函数图像的一条对称轴，所以φ＝π2

＋k π，k ∈Z .又0≤φ≤π，所以当k ＝0时，φ＝π2

. 6．B [解析] 依题意，T ＝π，所以ω＝2，所以 f(x)＝sin ?

????2x ＋π6，令2x ＋π6＝k π，解得x ＝－π12＋k π2(k ∈Z )，因为f(x)＝sin ?

????2x ＋π6的图像关于点(x 0，0)成中心对称，x 0∈?

?????0，π2，所以x 0＝5π12，选择B. 7．C [解析] 因为当0≤ωx≤π2时，函数f(x)为增函数，当π2

≤ωx≤π时，函数f(x)为减函数，即当0≤x≤π2ω时，函数f(x)为增函数，当π2ω≤x≤πω

时，函数f(x)为减函数，所以π2ω＝π3，所以ω＝32

. 8．π [解析] 由sin[2(x ＋π)－π3]＝sin(2x －π3＋2π)＝sin(2x －π3

)，可知函数y ＝sin(2x －π3

)的最小正周期为π. 9.??????π2，π [解析] y ＝sin(π＋x)＝－sin x ，求y ＝sin(π＋x)在????

??－π2，π上的单调递增区间，也就是求y ＝sin x 在????

??－π2，π上的单调递减区间． 10.78 2 [解析] ∵x ∈??????π6

，7π6，∴－12≤sin x≤1.y＝3－sin x －2cos 2x ＝1－sin x ＋2(1－cos 2x)＝2sin 2x －sin x ＋1＝2(sin x －14)2＋78，当sin x ＝14时，y min ＝78

；当sin x ＝1或sin x ＝－12

时，y max ＝2. 11．0 [解析] ∵f(x)是R 上的奇函数，∴f(0)＝0.由f(x)＝f(2－x)，得f(x ＋4)＝

f(x)，∴f(x)的最小正周期为4.又∵tan α＝12

，∴α为第一或第三象限角．当α为第一

5 象限角时，sin α＝55，cos α＝2 55，当α为第三象限角时，sin α＝－55

，cos α＝－2 55

，∴－10sin α·cos α＝－4， ∴f(－10sin αcos α)＝f(－4)＝f(0)＝0.

12．解：(1)∵－1≤sin x≤1，∴当sin x ＝－1，

即x ＝2k π＋3π2

，k ∈Z 时，y 取得最大值5， 相应的自变量x 的集合为????

??x|x ＝2k π＋3π2，k ∈Z ； 当sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2

，k ∈Z 时，y 取得最小值1， 相应的自变量x 的集合为????

??x|x ＝2k π＋π2，k ∈Z . (2)令t ＝sin x ，g(t)＝f(x)，∵x ∈??????π6

，5π6，∴12≤sin x≤1，即12≤t≤1， ∴g(t)＝2t 2＋2t －12＝2? ????t ＋122－1，∴1≤g(t)≤72

， ∴函数f(x)的值域为??????1，72. 13．解：(1)根据题意cos ? ????π3－2x ＝12

，所以π3－2x ＝2k π±π3(k ∈Z )， 又x ∈????

??－π6，π4，所以x ＝0. (2)易知2n π－π≤π3

－2x≤2n π(其中n ∈Z )， 解得－n π＋π6≤x≤－n π＋2π3

(其中n ∈Z )， 即k π＋π6≤x≤k π＋2π3

(k ∈Z )， 从而f(x)的单调递增区间为?

?????k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )． 14．D [解析] 因为α，β是钝角三角形的两个锐角，所以0°<α＋β<90°，所以0°<α<90°－β，所以0<sin α<sin(90°－β)＝cos β<1.因为定义在R 上的偶函数f(x)在(－∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(sin α)<f(cos β)．

15．解：设f(x)＝sin 2x ＋4cos x ＋a 2＝－cos 2x ＋4cos x ＋1＋a 2＝－(cos x －2)2＋a

2＋5.

∵－1≤cos x≤1，∴当cos x ＝1时，f(x)max ＝4＋a 2≤13；①

当cos x ＝－1时，f(x)min ＝－4＋a 2≥－1.②

联立①②，得3≤a 2≤9，∴－3≤a≤－3或3≤a≤3.