2009年考研数学一真题与答案

2009年数学一真题与答案

2009年全国硕士研究生入学统一考试

数学一试题

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.）

1. 当x 0时，f x x sinax与g x x2ln 1 bx 等价无穷小，则（ ）

11

a 1,b a 1,b . . AB 66

11

C a 1,b 6. D a 1,b 6.

2. 如图，正方形

x,y x 1,y 1 被其对角线划分为

ycosxdxdy，

Dk

四个区域Dk k 1,2,3,4 ，Ik 则max Ik （ ）

1 k 4

x

A I1.

B I2. C I3.

D

I3. 设函数y f x 在区间 1,3 上的图形为：

x0

则函数F x

f t dt的图形为（ ）

B .

A .

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C .

n

D .

4. 设有两个数列 an , bn ，若liman 0，则（ ）

A 当 bn收敛时， anbn收敛.

n 1

n 1

B 当 bn发散时， anbn发散.

n 1

n 1

C 当

b

n 1

n

收敛时，

ab

n 1

22nn

收敛.

D 当 bn

n 1

发散时，

ab

n 1

22nn

发散.

3

5. 设 1, 2, 3是3维向量空间R的一组基，则由基 1, 2, 3到基

1213

1 2, 2 3, 3 1的过渡矩阵为（ ）

101

220 A . 033

120

B 023 .

103

1

2 1C 2 1 2

14141 4

1 6 1

. 6 1 6

1 2 1D 4 1 6

121416

1 2 1 . 4 1 6

6. 设A,B均为2阶矩阵，A*,B*分别为A,B的伴随矩阵，若A 2,B 3，则分块矩

阵

OA

的伴随矩阵为（ ）

BO

3B*

. O 3A*

. O

O A *

2A OC *

2B

O B *

3A OD *

3B

2B*

. O 2A*

.

O

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7. 设随机变量X的分布函数为F x 0.3 x 0.7

分布函数，则EX （ ）

x 1

，其中 x 为标准正态 2

A 0.

B 0.3. C 0.7.

D 1.

8. 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N 0,1 ，Y的概率分布为

1

P Y 0 P Y 1 ，记FZ z 为随机变量Z XY的分布函数，则函数FZ z

2

的间断点个数为（ ）

A 0.

B 1. C 2.

D 3.

二、填空题（9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.）

2z

9. 设函数f u,v 具有二阶连续偏导数，z f x,xy ，则

x y

10. 若二阶常系数线性齐次微分方程y ay by 0的通解为y C1 C2x e，则非齐

x

次方程y ay by x满足条件y 0 2,y 0 0的解为y 。 11.

已知曲线L:y x12. 设

2

0 x ，则 xds

L

x,y,z x

2

y2 z2 1，则 z2dxdydz 。

T

13. 若3维列向量 , 满足

为 。

2，其中 T为 的转置，则矩阵 T的非零特征值

2

14. 设X1,X2, ,Xm为来自二项分布总体B n,p 的简单随机样本，X和S分别为样本

2

均值和样本方差。若X kS为np2的无偏估计量，则k 。

三、解答题（15－23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

22

1. （本题满分9分）求二元函数f(x,y) x2 y ylny的极值。

2. （本题满分9分）设an为曲线y x与y x

nn 1

n 1,2,..... 所围成区域的面积，记

S1 an,S2 a2n 1，求S1与S2的值。

n 1

n 1

x2y2

1绕x轴旋转而成，圆锥面S2是过点3. （本题满分11分）椭球面S1是椭圆43

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x2y2

4,0 且与椭圆 1

43

（Ⅰ）求S1及S2的方程

相切的直线绕x轴旋转而成。

（Ⅱ）求S1与S2之间的立体体积。 4. （本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f x 在 a,b 上连续，在(a,b)可导，则存在

a,b ，使得f b f a f b a

（Ⅱ）证明：若函数f x 在x 0处连续，在 0, 0 内可导，且

x 0

limf x A，则f 0 存在，且f 0 A。

5. （本题满分10分）计算曲面积分I

xdydz ydzdx zdxdy

x

2

y2 z

3

22

，其中

是曲面

2x2 2y2 z2 4的外侧。

6. （本题满分11分）

1 1 1 1

1 1 1 设A 11

0 4 2 2

（Ⅰ）求满足A 2 1的 2. A2 3 1的所有向量 2, 3. （Ⅱ）对①中的任意向量 2, 3证明 1, 2, 3无关。 7. （本题满分11分）

设二次型f x1,x2,x3 ax1 ax2 a 1 x3 2x1x3 2x2x3

2

2

2

（Ⅰ）求二次型f的矩阵的所有特征值；

22

（Ⅱ）若二次型f的规范形为y1，求a的值。 y2

8. （本题满分11分） 袋中有1个红色球，2个黑色球与3个白球，现有回放地从袋中取两次，每次取一球，

以X,Y,Z分别表示两次取球所取得的红球、黑球与白球的个数。 （Ⅰ）求pX 1Z 0；

（Ⅱ）求二维随机变量 X,Y 概率分布。

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9. （本题满分11 分）

2xe x,x 0

设总体X的概率密度为f(x) ，其中参数 ( 0)未知，X1，

0,其他X2,…Xn是来自总体X的简单随机样本

(Ⅰ)求参数 的矩估计量；

（Ⅱ）求参数 的最大似然估计量

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2009年考研数学一真题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.

（1）当x 0时，f x x sinax与g x x2ln 1 bx 等价无穷小，则（ ）

A a 1,b 6.

1

【答案】 A

1

B a 1,b

C a 1,b 6.

1

. 61

D a 1,b .

6

【解析】f(x) x sinax,g(x) x2ln(1 bx)为等价无穷小，则

f(x)x sinaxx sinax1 acosaxa2sinaxlim lim2 lim2洛lim洛limx 0g(x)x 0xln(1 bx)x 0x ( bx)x 0x 0 3bx2 6bx

a2sinaxa3 lim 1 a3 6b 故排除B,C。 x 06b6b ax

a

另外lim

1 acosax

存在，蕴含了1 acosax 0 x 0 故a 1.排

x 0 3bx2

D。

所以本题选A。 （2）如图，正方形

x,y x 1,y 1 被其对角线划分为

ycosxdxdy，

Dk

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