2013届中考数学考前热点聚焦《专题七 中考开放性探究题》

专题七 ┃安徽中考开放性探究题

专题七 ┃ 考情分析

考情分析开放性探究题在我省近年的中考数学试卷中被反复考 查.从2007年至2012年的近六年中考中都无一例外进行了 考查.其中2007年的第21题(分值12分)、2008年的第18题 (分值8分)、2009年的第17题(分值8分)、2010年的第9题(分 值4分)、2011年的第18题(分值8分)、2012年的第17题都属 于此类问题.由此我们不难发现这种问题是不折不扣的高 频热点题型.预测2013年仍会有这类题目.

专题七 ┃ 考情分析开放性探究题一般是在特定的背景、情境或某些条件 下(可以是关系式、有规律的数或式、特定的生活情景、流 程图、具有某种特征的图形、图案或图表),通过认真分 析，仔细观察，提取相关的数据、信息，进行适当的分析、 综合归纳，作出大胆猜想，得出结论，进而加以验证或解决 问题的数学探索题.其解题思维过程是：从特殊情况入手→ 探索发现规律→综合归纳→猜想得出结论→验证结论.由于 规律探究题的命题背景极其丰富多样，解题过程中一般需要 创造性地进行思考，所以同学们在求解时觉得较难把握.下 面我们通过近年的典型试题分析这种试题的解题方法，希望 对同学们有所帮助.

专题七 ┃ 热点探究

热考探究例1 [2012· 安徽] 在由m×n(m×n>1)个小正方形组成的 矩形网格中，研究它的一条对角线所穿过的小正方形个数f. (1) 当m、n互质(m、n除1外无其他公因数)时，观察图X7 -1并完成下表：

图X7-1

专题七 ┃ 热点探究

m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 5 7 3 4 7 猜想：当m、n互质时，在m×n的矩形网格中，一条对角 线所穿过的小正方形的个数f与m、n的关系式是 ________(不需要证明); (2)当m、n不互质时，请画图验证你猜想的关系式是否依 然成立.

专题七 ┃ 热点探究

【题干关键词】 网格，对角线，穿过，互质，不互质. 【提示】 特殊到一般，猜想验证.解：(1)如表： m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 6 3 4 7 6 f=m+n-1 (2)当m、n不互质时，上述结论不成立，如图2×4.

专题七 ┃ 热点探究

例2 [2011· 安徽] 在平面直角坐标系中，一蚂蚁从原点O 出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动， 每次移动1个单位.其行走路线如图X7-2所示. (1)填写下列各点的坐标：A4(________,________), A8(________,________),A12(________,________); (2)写出点A4n的坐标(n是正整数); (3)指出蚂蚁从点A100到A101的移动方向.

图X7-2

专题七 ┃ 热点探究

【题干关键词】 平面直角坐标系，移动，行走路线. 【提示】 写出特殊的有限的几个点，横坐标、纵坐标 分开找规律. 解:(1)A4(2,0);A8(4,0);A12(6,0)

(2)A4n(2n,0) (3)向上

专题七 ┃ 热点探究

例3 [2012· 珠海] 观察下列等式： 12×231=132×21, 13×341=143×31, 23×352=253×32, 34×473=374×43, 62×286=682×26, 以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成 两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式 为“数字对称等式”.

专题七 ┃ 热点探究

(1)根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对 称等式”: ①52×________=________×25; ②________×396=693×________. (2)设这类等式左边两位数的十位数字为a,个位数字为 b,且2≤a+b≤9,写出表示“数字对称等式”一般规律 的式子(含a、b),并证明.

专题七 ┃ 热点探究

【题干关键词】 等式，对称，组成两位数与三位数的数 字之间具有相同规律. 【提示】 根据对称性，找到所有式子的相同规律.

专题七 ┃ 热点探究

[解析] (1)观察等式，左边，两位数所乘的数是这个两位 数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数 字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数百位与个位数 字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相 乘，根据此规律填空即可. (2)用字母表示(1)中对称等式的规律，然后利用多项式的 乘法进行证明即可.

专题七 ┃ 热点探究

解：(1)①275,572;②63,36 (2)一般规律的式子为：(10a+b)×[100b+10(a+b)+a] =[100a+10(a+b)+b]×(10b+a). 证明：∵左边=(10a+b)[100b+10(a+b)+a] =11(10a+b)(10b+a), 右边=[100a+10(a+b)+b](10b+a) =11(10a+b)(10b+a), ∴左边=右边，原等式成立.

专题七 ┃ 热点探究例4 [2011· 南昌] 某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=θ(0°<θ<90° ).现把小棒依次摆放在两射线AB,AC之间，并 使小棒两端分别落在两射线上. 活动一 如图X7-3①所示，从点A1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两 端点处互相垂直，A1A2为第1根小棒. 数学思考 (1)小棒能无限摆下去吗？答：________.(填“能”或“不能”) (2)设AA1=A1A2=A2A3=1. ①θ=________度； ②若记小棒A2n- 1A2n的长度为an(n为正整数，如A1A2=a1,A3A4=a2,), 求此时a2,a3的值，并直接写出an(用含n的式子表示).

专题七 ┃ 热点探究

活动二 如图X7-3②所示，从点A1开始，用等长的小棒依次向右 摆放，其中A1A2为第1根小棒，且A1A2=AA1. 数学思考 (3)若已经向右摆放了3根小棒，则θ1=________,θ2= ________,θ3=________;(用含θ的式子表示) (4)若只能摆放4根小棒，求θ的范围. ..

专题七 ┃ 热点探究【题干关键词】 小棒依次摆放，两端分别落在两射线上，两 端点处互相垂直，无限

. 【提示】 小棒长相等，等腰直角三角形，平行线，三角形内 角和，外角性质.

图X7-3