2018学年高中数学第三章不等式3次不等式的解法优化练习新人教A版

2018

1 第1课时 一元二次不等式的解法

[课时作业]

[A 组 基础巩固]

1．设集合M ＝{x |x 2－x <0}，N ＝{x |x 2<4}，则( )

A ．M ∩N ＝?

B ．M ∩N ＝M

C ．M ∪N ＝M

D ．M ∪N ＝R 解析：M ＝{x |0<x <1}，N ＝{x |－2<x <2}，

∴M ∩N ＝M .故选B.

答案：B

2．不等式x 2－2x －5>2x 的解集是( )

A ．{x |x ≥5或x ≤－1}

B ．{x |x >5或x <－1}

C ．{x |－1<x <5}

D ．{x |－1≤x ≤5} 解析：由x 2－2x －5>2x ，得x 2－4x －5>0.

因为x 2－4x －5＝0的两根为－1,5，

故x 2－4x －5>0的解集为{x |x <－1或x >5}．

答案：B

3．不等式x (2－x )＞3的解集是( )

A ．{x |－1＜x ＜3}

B ．{x |－3＜x ＜1}

C ．{x |x ＜－3或x ＞1}

D ．? 解析：将不等式化为标准形式x 2－2x ＋3＜0，由于对应方程的判别式Δ＜0，所以不等式x (2

－x )＞3的解集为?.

答案：D

4．已知集合M ＝{x |x 2－3x －28≤0}，N ＝{x |x 2

－x －6>0}，则M ∩N 为( )

A ．{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}

B ．{x |－4<x ≤－2或3≤x <7}

C ．{x |x ≤－2或x >3}

D ．{x |x <－2或x ≥3}

解析：∵M ＝{x |x 2－3x －28≤0}＝{x |－4≤x ≤7}， N ＝{x |x 2－x －6>0}＝{x |x <－2或x >3}，

∴M ∩N ＝{x |－4≤x <－2或3<x ≤7}．

答案：A

5．若0＜t ＜1，则不等式(x －t )(x －1t

)＜0的解集为( )

2018

2 A ．{x |1t ＜x ＜t } B ．{x |x ＞1t

或x ＜t } C ．{x |x ＜1t 或x ＞t } D ．{x |t ＜x ＜1t

} 解析：∵0＜t ＜1，∴1t ＞1，∴t ＜1t

， ∴(x －t )(x －1t )＜0?t ＜x ＜1t

. 答案：D

6．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集是(－12，13

)，则a ＋b 的值是________． 解析：由????? －12＋13＝－b a ，－12×13＝2a ，

∴a ＝－12，b ＝－2，∴a ＋b ＝－14.

答案：－14 7．方程x 2＋(m －3)x ＋m ＝0有两个实根，则实数m 的取值范围是________．

解析：由Δ＝(m －3)2－4m ≥0可得m ≥9或m ≤1.

答案：m ≤1或m ≥9

8．设函数f (x )＝????? x 2－4x ＋6，x ≥0x ＋6，x <0，，则不等式f (x )>f (1)的解集是________．

解析：当x ≥0时，f (x )＞f (1)＝3，即x 2－4x ＋6＞3，解得0≤x ＜1或x ＞3；当x <0时，

f (x )>f (1)＝3，即x ＋6>3，解得－3<x <0.故f (x )>f (1)的解集是(－3,1)∪(3，＋∞) 答案：(－3,1)∪(3，＋∞)

9．解不等式0≤x 2－x －2≤4.

解析：原不等式等价于?

???? x 2－x －2≥0，x 2－x －2≤4， 解x 2－x －2≥0，得x ≤－1或x ≥2；

解x 2

－x －2≤4，得－2≤x ≤3.

所以原不等式的解集为{x |－2≤x ≤－1或2≤x ≤3}．

10．已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集是??????x |x <－2或x >－12，求ax 2－bx ＋c >0的解集．解析：由题意，－2，－12

是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，

2018

3 且a <0，故?????

－2＋? ????－12＝－b a －? ??

??－12＝c a ， 解得a ＝c ，b ＝52c . 所以不等式ax 2

－bx ＋c >0即为2x 2－5x ＋2<0，

解得12

<x <2. 即不等式ax 2－bx ＋c >0的解集为??????x |12<x <2. [B 组 能力提升]

1．已知不等式x 2－2x －3＜0的整数解构成等差数列{a n }的前三项，则数列{a n }的第四项为

( )

A ．3

B ．－1

C ．2

D ．3或－1 解析：∵x 2－2x －3＜0，∴－1＜x ＜3，

∴a 1＝0，a 2＝1，a 3＝2或a 1＝2，a 2＝1，a 3＝0.

∴a 4＝3或－1.

答案：D

2．在R 上定义运算“⊙”：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)<0的实数x 的取值范围为

( )

A ．(0,2)

B ．(－2,1)

C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

D ．(－1,2)

解析：根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又

x ⊙(x －2)<0，则(x ＋2)(x －1)<0，故这个不等式的解集是(－2，1)．

答案：B

3．已知x ＝1是不等式k 2x 2

－6kx ＋8≥0(k ≠0)的解，则 k 的取值范围是________．

解析：由题意可知k 2－6k ＋8≥0，解得k ≥4或k ≤2.又k ≠0，∴k 的取值范围是k ≥4或k ≤2且k ≠0.

答案：(－∞，0)∪(0,2]∪[4，＋∞)

4．设0<b <1＋a .若关于x 的不等式(x －b )2>(ax )2的解集中的整数解恰有3个，则a 的取值范围为________．

解析：原不等式化为[(1－a )x －b ][(1＋a )x －b ]>0.

2018

4 ①当a ≤1时，结合不等式解集形式知不符合题意；②当a >1时，b 1－a <x <b a ＋1

，由题意知0<b a ＋1<1，∴要使原不等式解集中的整数解恰有3个，则需－3≤b

1－a <－2.整理，得2a －2<b ≤3a －3.结合题意b <1＋a ，有2a －2<1＋a ，∴a <3，从而有1<a <3.综上可得a ∈(1,3)． 答案：(1,3)

5．已知不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，

(1)求a ，b ；

(2)解不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0.

解析：(1)因为不等式ax 2－3x ＋6>4的解集为{x |x <1或x >b }，所以x 1＝1与x 2＝b 是方程ax 2－3x ＋2＝0的两个实数根，且b >1.由根与系数的关系，得

?????

1＋b ＝3a ，1×b ＝2a .解得????? a ＝1，b ＝2. 所以{ a ＝1，b ＝2. (2)所以不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0，即x 2－(2＋c )x ＋2c <0，即(x －2)(x －c )<0.

①当c >2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为

{x |2<x <c }；

②当c <2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为

{x |c <x <2}；

③当c ＝2时，不等式(x －2)(x －c )<0的解集为?.

综上所述：当c >2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |2<x <c }；

当c <2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为{x |c <x <2}；

当c ＝2时，不等式ax 2－(ac ＋b )x ＋bc <0的解集为?.

6．关于x 的不等式组

????? x 2－x －2＞0，2x 2＋k ＋x ＋5k ＜0

的整数解的集合为{－2}，求实数k 的取值范围．

解析：由x 2－x －2＞0，可得x ＜－1或x ＞2.

∵????? x 2－x －2＞0，2x 2＋k ＋x ＋5k ＜0的整数解的集合为{－2}，

方程2x 2＋(2k ＋5)x ＋5k ＝0的两根为－k 与－52

，

2018

5 若－ k ＜－52

，则不等式组的整数解的集合就不可能为{－2}； 若－52

＜－k ，则应有－2＜－k ≤3， ∴－3≤k ＜2.

综上，所求的k 的取值范围为－3≤k ＜2.