2-11第十一节 变化率与导数、导数的计算(2015年高考总复习)

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第二章 函数、导数及其应用

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第二章 函数、导数及其应用

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第十一节 变化率与导数、导数的计算

读教材· 抓基础

研考点· 知规律

拓思维· 培能力

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高考这样考 1.对于导数的几何意义，高考要求较高，主要以选择题或填 空题的形式考查曲线在某点处的切线问题. 2.导数的基本运算多涉及三次函数、指数函数与对数函数、 三角函数等，主要考查对基本初等函数的导数及求导法则的正确 利用.

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备考这样做 1.理解导数的意义，熟练掌握导数公式和求导法则. 2.会求某点处切线的方程或过某点的切线方程.

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D 读教材· 抓基础回扣教材 扫除盲点

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课 本 导 读 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义： 称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 Δy f x0+Δx -f x0 lim Δx lim = 为函数y=f(x)在x=x0处 Δx Δx→0 Δx→0 Δy 的导数，记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)= lim Δx= Δx→0 f x0+Δx -f x0 lim . ΔxΔx→0

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(2)几何意义： 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上 点 (x0,f(x0)) 处的切线的斜率.

相应地，切线方程为

y-y0=f′(x0)(x-x0).

2.函数f(x)的导函数 f x+Δx -f x lim Δx 称函数f′(x)= Δx→0 函数有时也记作y′.

为f(x)的导函数，导

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3.基本初等函数的导数公式

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4.导数运算法则 (1)[f(x)± g(x)]′= (2)[f(x)g(x)]′= f x (3) g x ′=

f′(x)± g′(x)

; ; (g(x)≠0).

f′(x)g(x)+f(x)g′(x)f′ x g x -f

x g′ x [g x ]2

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5.(理)复合函数的导数 设u=v(x)在点x处可导，y=f(u)在点u处可导，则复合函数 f[v(x)]在点x处可导，且f′(x)= f′[v(x)]v′(x) ,即y′x=y′u· u′x .

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疑 点 清 源 1.利用导数定义求导数时，要注意到x与Δx的区别，这里的 x是常量，Δx是变量. 2.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防 止与乘法公式混淆. 3.求曲线的切线时，要分清点P处的切线与过P点的切线的 区别，前者只有一条，而后者包括了前者.

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4.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研 究直线与二次曲线相切时有差别.

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基 础 自 评 1.下列求导过程中① 1 x

′=-

1 1 ;② ( x ) ′= ;③ x2 2 x

lnx 1 (logax)′= lna ′= xlna ;④(ax)′=(elnax)′=(exlna)′=exlnalna

=axlna,其中正确的个数是( A.1 C.3 B.2 D.4

)

答案 D

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2.若f(x)=x2-2x-4lnx,则f′(x)>0的解集为( A.(0,+∞) B.(-1,0)∪(2,+∞) C.(2,+∞) D.(-1,0)

)

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解析

4 2 x-2 x+1 令f′(x)=2x-2- x = >0,利用数轴标 x

根法可解得-1<x<0或x>2,又x>0,所以x>2.故选C.

答案 C

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