统原PP第四章综合指标(下)山西农大

第四节 标志变异指标-、标志变异指标的概念和作用 (一)概念 测定总体中各单位标志值变异程度，即总体离散趋势的 统计指标叫做标志变异指标，也称标志变动度。 集中趋势 差 异 抽 象 化 一般水平 平均指标 离散趋势 差异具体测定 变异程度 变异指标 ( ) (二)作用 1、表明平均数的代表性。变异程度大，代表性就小；变异程度小，代表性就大。

2、表明现象的均衡性。变异大，均衡性差，风险大。 3、用于抽样推断、相关分析、统计预测。 (三)常用指标 极差、平均差、标准差以及离散系数等。

一、极差

极差也称全距，是总体分布中最大标志值与最小标 志值之差。

R=Xmax-Xmin①表明标志值变动范围。极差大，范围大， 标志分散。 ②只考虑两极，不反映中间，易受极端数值 影响。 若为组距式分组数列，(则极差为最高组的组中 若为组距式分组数列， 则极差为最高组的组中 值减去最低组的组中值。公式为： 最高组的 值减去最低组的组中值。公式为：R=最高组的 组中值-最低组的组中值 最低组的组中值) 组中值 最低组的组中值 公式为：R=末组上限 首组下限 公式为： 末组上限 末组上限-首组下限

四分位差 四分位差是一批数据中的第三四分位数与第一 四分位数之差的二分之一,即(M3-M1)/2.其意义 是去掉数列中四分之一最小的部分和四分之一 最大的部分,再根据中间50%部分来测定四分之 一的距离为多少. 若用一批数据中的第三四分位数与第一四分位 数之差,就称为四分位距,用于测定中间50%部分 的距离为多少,含义与四分位差类似.

四分位差 假设有数组：0,10,20,30,40,50,60, 70,80,90,100,110. 元素共12个，由小到 大排列。 则第一四分位为第三位和第四位的中 位数，即：Q1=(20+30)/2=25;同理，第三 四分位为第九位和第十位的中位数，即：Q3= (80+90)/2=85。 四分位差Q=Q3-Q1/2=(8525)/2=30如果上面的数组表示12个学生的成绩， Q表示学生得分的分散情形，若Q值越大，表 示学生得分越参差不齐。

二、平均差总体各单位标志值与其算术平均数离差的绝对值的算 术平均。 未分组资料平均差，简单平均差

∑ x x A D =n

分组资料平均差，加权平均差

∑ A D =

x x f

∑

f

①全面考虑，综合反映；平均差大，离散大。 ②计算不便，反映不突出。

例：200名工人按日产量分组资料如下，计算工人日产量的平均差。按日产量 分组(件) 20—30 30—40 40—50 50—60 合计 工人数(人) f 10 70 90 30 200

组中值(件) 25 35 45 55 -----

xf 250 2450 4050 1650 8400

x x-17 -7 十3 十13 -------

x x17 7 3 13 --------

x x170 490 270 390 1320

f

∑ xf x= ∑f

8400 = = 42(件

) 2001320 = = 6.6(件) 200

∑ x x f A D = ∑f

四、标准差和方差标准差是总体各单位标志值与其算术平均数离差平方的算术平均数 的平方根，亦称均方差。标准差的平方即为方差。 根据未分组资料计算，要采用简单标准差和方差。

标准差

σ=

∑ (x x )n

2

方差

σ

2

∑ (x x ) =n

2

根据分组资料计算，要采用加权标准差和方差。

σ=

∑ (x x ) ∑f

2

f

σ

2

∑ (x x ) = ∑f

2

f

简单标准差公式σ =

加权标准差公式2

∑ (xn

x

)

σ =

∑ (x x ) ∑ f

2

f

(适用于未分组资料) 适用于未分组资料) (适用于分组资料) 适用于分组资料)

计算标准差的简化式

σ= x x2

()

2

=

∑n

x

2

∑

x n

2

或=

∑x f ∑f2

∑ xf ∑f

2

例： 日产量 (公斤) (1) 20—30 30—40 40—50 50--60 合计 工人数f (人) (2) 10 70 90 30 200 组中值x (公斤) (3) 25 35 45 55 --

(x x )(4)=(3)-42 -17 -7 3 13 --

( x x )2(5)=(4)2 289 49 9 169 --

(x x )22890 3430 810 5070 12200

f

(6)=(5)×(2)

解：

∑ xf x= ∑fσ=

8400 = = 42(公斤) 2002

∑ (x x ) ∑f

f

12200 = = 7.8 200

(公斤)

五、离散系数总体分布的标志变异程度不仅取决于标志值的差异状态，还受到总 体平均数的影响。若对两个总体分布进行变异性比较，当它们的 平均数不等、计量单位不同时，则应消除平均数不同和计量单位 不可比的影响。 x =8 例： 6 7 8 9 10 R=4 AD=1.2 σ=1.4142 x =108 R=4 AD=1.2 σ=1.4142 106 107 108 109 110 离散系数 是指消除平均数影响后的标志变异指标，其形式为相对 数，也称为标志变异相对数指标。

V A D平均差系数

A D = × 100% x

1.2 1.2 VA D = =15% VA D = =1.1% 8 108

1.4142 1.4142 标准差系数 Vσ = x × 100% Vσ = 8 = 11.6% Vσ = 108 = 1.31%

σ

即：变 异 系 数用相对数形式反映各个变量值与其平均数 的离差程度，其数值表现为系数或百分数。 的离差程度，其数值表现为系数或百分数。 计算方法： 计算方法： 是全距、平均差、 是全距、平均差、标准差与算术平 均数的比值。 均数的比值。

变异系数包括：全距系数、 变异系数包括：全距系数、平均差系数 、标准差系数 使用最多的是标准差系数。 使用最多的是标准差系数。σ

标准差系数 Vσ =x

作用 离散系数用于对不同组别数据的离散程 度进行比较，离散系数大， 度进行比较，离散系数大，说明该组数据的 离散程度大；离散系数小， 离散程度大；离散系数小，说明该组数据的 离散程度小。 离散程度小。

第五节 成数 成数及其性质 是非标志(交替标志):只有两种标志表现。 成数—具有某种标志的单位数

在总体单位数中所占的比重。P = N1

σp =

N 总体单位数为N,具有某种标志的单位用1表示，单位数为N1,成数为 N 不具有某种标志的单位用0表示，单位数为N0,成数为 Q = 0 N ※成数的平均数就是成数本身。 x f 标志表现 比重 ∑ xf = 1× N1 + 0 × N 0 = P xp = N 1 N1 P = 1 是 N1 + N 0 ∑f N N ◎成数的标准差为PQ的几何平均数。 0 N0 Q = 0 非 2

∑(x x) ∑f

f

(1 P)2 N1 +(0 P)2 N0 = = PQ N1 + N0

N

合计

—

N

1

第六节 综合指标的应用一、算术平均数、调和平均数、几何平均数之关系

xH ≤ xG ≤ x设有 1、2、3、4、5 ∑ x = 1+ 2 + 3 + 4 + 5 = 3 x= n 5

xG = 5 1× 2 × 3 × 4 × 5 = 5 120 = 2.65 xH = = = 2.19 1 1 1 1 1 ∑ x 1+ 2 + 3 + 4 + 5 n

调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数 二元的易证，多元的就有点麻烦了，下面给二元的 证明 算术和几何：因(a - b)^2 >= 0,即(a + b)^2 - 4ab >= 0,故a + b >= = 4ab 2 ab 几何与调和：利用上式，有2 / (1/a + 1/b) = 2ab/(a+b) <= 2ab / = ab 2 ab (因为a+b >= ) 2 算术与平方：因 ab - ( (a + b)/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0,故 >= (a2 +b2) / 2 (a + b)/2.(a2 +b2) / 2

二、位置平均数 …… 此处隐藏：1977字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……