数值分析第7章答案

第七章非线性方程求根

一、重点内容提要 （一）问题简介 求单变量函数方程

f(x) 0 (7.1) 的根是指求x*（实数或复数），使得f(x*) 0.称x*为方程(7.1)的根,也称x*为

m

f(x) (x x*)g(x) f(x)f(x)函数的零点.若可以分解为

其中m为正整数,g(x)满足g(x) 0,则x*是方程(7.1)的根.当m=1时,称x*为单根;当m>1时,称x*为m重根.若g(x)充分光滑,x*是方程(7.1)的m重根,则有

(m 1)(m)

f(x*) f'(x*) ... f(x*) 0,f(x*) 0

若f(x)在[a,b]上连续且f(a)f(b) 0,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求

得.

(二)方程求根的几种常用方法 1.二分法

设f(x)在[a,b]上连续,f(a)f(b) 0,则f(x) 0在(a,b)内有根x*.再设

1x (a b)

f(x) 0在(a,b)内仅有一个根.令a0 a,b0 b,计算0200和f(x0).若f(x0) 0

则x* x,结束计算;若;若

f(a0)f(x0) 0

f(a0)f(x0) 0

,则令

a1 x0,b1 b

,得新的有根区

间

[a1,b1]

,则令

a1 a0,b 1

x

,得新的有根区间

11

b a (b a)x (a1 b1)1[a1,b1][a0,b0] [a1,b1]11200f(x1)2.,.再令计算,同上法

得出新的有根区间

[a2,b2]

,如此反复进行,可得一有根区间套

... [an,bn] [an 1,bn 1] ... [a0,b0]

11

an x* bn,n 0,1,2,...,bn an (bn 1 a 1) ... n(b0 a0)

22且. 1

lim(bn an) 0,limxn lim(an bn) x*

n n 2故 n

1

xn (an bn)

2因此,可作为f(x) 0的近似根,且有误差估计

|xn x*|

1

(b a)2n 1 (7.2)

2.迭代法

将方程式(7.1)等价变形为 x (x) (7.3)

若要求x*满足f(x*) 0则x* (x*);反之亦然.称x*为函数 (x)的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求 (x)的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为

xk 1 (xk),k 0,1,2...

(7.4)

xk 1 (xk),k 0,1,2...

函数 (x)称为迭代函数.如果对任意

limxk x*xk 列有极限 k

,由式(7.4)产生的序

则称不动点迭代法(7.4)收敛.

定理7.1(不动点存在性定理)设 (x) C[a,b]满足以下两个条件: 1.对任意x [a,b]有a (x) b;

2.存在正常数L 1,使对任意x,y [a,b],都有| (x) (y)| |x y| (7.5) 则 (x)在[a,b]上存在惟一的不动点x*.

定理7.2(不动点迭代法的全局收敛性定理)设 (x) C[a,b]满足定理7.1中的两个条件,则对任意

x0 [a,b]

,由(7.4)式得到的迭代序列

xk

收敛.到 (x)的不动

点,并有误差估计式

|xk x*|

L

|xk xk 1|1 L (7.6)

Lk

|xk x*| |xk xk 1|

1 L和 (7.7)

定理7.3(不动点迭代法的局部收敛性定理)设x*为 (x)的不动点, '(x)在x*的某个邻域连续,且| '(x)| 1,则迭代法(7.4)局部收敛.

收敛阶的概念 设迭代过程(7.4)收敛于方程x (x)的根x*,如果迭代误差

ek xk x*

当k 时成产下列渐近关系式

ek 1

C(常数C 0)e k (7.8)

则称该迭代过程是p阶收敛的.特别地,p=1时称线性收敛,p>1时称超线性收

敛,p=2时称平方收敛.

(K) (x)在所求根x*的邻近连续,定理7.4(收敛阶定理)对于迭代过程(7.4),如果

并且

'(x*) ''(x*) ... (p 1)(x*) 0 (p)(x*) 0

则该迭代过程在点x*的邻近是收敛的,并有

ek 11(p)

(x*)

k epp!k (7.10)

lim

(7.9)

斯蒂芬森(Steffensen)迭代法 当不动点迭代法(7.4)只有线性收敛阶,甚至于

不收敛时,可用斯蒂芬森迭代法进行加速.具体公式为 yk (xk),zk (yk)

(yk xk)2

xk 1 xk

zk 2yk xk

k 0,1,2,... (7.11)

此法也可写成如下不动点迭代式 xk 1 (xk),k 0,1,2,...

( (x) x)2

(x) x

( (x)) 2 (x) x (7.12)

定理7.5(斯蒂芬森迭代收敛定理) 设x*为式(7.12)中

(x)的不动点,则x*是

(x)的不动点;设 ''(x)存在, '(x*) 1,则x*是 (x)的不动点,则斯蒂芬森迭代法(7.11)是2阶收敛的. 3.牛顿迭代法

牛顿迭代法是一种特殊的不动点迭代法,其计算公式为

xk 1 xk

f(xk)

,k 0,1,2,...f'(xk) (7.13)

其迭代函数为

(x) x

f(x)f'(x)

牛顿迭代法的收敛速度 当f(x*) 0,f'(x*) 0,f''(x*) 0时,容易证

明,f'(x*) 0,

''(x*)

f''(x*)

0f'(x*),由定理7.4知,牛顿迭代法是平方收敛的,且

ek 1f''(x*)

k e22f'(x*) (7.14) k

lim

重根情形的牛顿迭代法 当x*是f(x) 0的m重根(m 2)时,迭代函数

(x) x

f(x)1

'(x*) 1 0

f'(x)在x*处的导数m,且| '(x*)| 1.所以牛顿迭代法

求重根只是线性收敛.若x*的重数m知道,则迭代式

xk 1 xk m

f(xk)

,k 0,1,2,...f'(xk) (7.15)

求重根二阶收敛.当m未知时,x*一定是函数式

xk 1 xk

(x)

f(x)

f'(x)的单重零点,此时迭代

(xk)f(xk)f'(xk)

xk '(xk)[f'(xk)] f(xk)f''(xk)

(7.16)

f(xk)

,k 0,1,2,...f'(x0)

k 0,1,2,...也是二阶收敛的.

xk 1 xk

简化牛顿法 如下迭代法

称为简化牛顿法或平行弦法.

牛顿下山法 为防止迭代不收敛,可采用牛顿下山法.具体方法见教材. 4.弦截法

将牛顿迭代法(7.13)中的弦截法

xk 1 xk

f(xk)

(xk xk 1)

f(xk) f(xk 1) (7.17)

f'(xk)

xx

用f(x)在k 1,k处的一阶差商来代替,即可得

定理7.6假设

f(x)

在其零点x*的邻域 :|x x*| 内具有二阶连续导数,且对

任意x 有f'(x) 0,又初值

p

x0,x1

,,则当邻域 充分小时,弦截法(7.17)将

按阶

1.6182

收敛到x*.这里p是方程 1 0的正根.

(xk 1,f(xk 1)),(xk f(xk))

5.抛物线法

弦截法可以理解为用过

两点的直线方程的根近似替

f(x) 0的根.若已知f(x) (xk,f(x)) 1x,(kk

f ,1kx(

2k

xxx0的三个近似根k,k 1,k 2用过

)x),(f())f(x) 0的根, 2kx,的抛物线方程的根近似代替

所得的迭代法称为抛物线法,也称密勒(Muller)法. 当

f(x)

在x*的邻近有三阶连续导数,f'(x*) 0,则抛物线法局部收敛,且收敛

阶为p 1.839 1.84.

二、知识结构图

三、常考题型及典型题精解

例7-1 证明方程x3 x 1 0在[1,2]上有一个实根x*,并用二分法求这个根,要求|xk-x*| 10-3.若要求|xk-x*| 10-6,需二分区间[1,2]多少次?

解 设f(x)=x3 x 1,则f(1)= …… 此处隐藏：9006字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……