《经济数学基础》教案4

1.理解矩阵、可逆矩阵和矩阵秩的概念。

2.掌握矩阵的加法、数乘矩阵、矩阵乘法和转置等运算。 3.熟练掌握用初等行变换法求矩阵的秩和逆矩阵的方法。

4.知道零矩阵、单位矩阵、对角矩阵、对称矩阵、阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵。 5.掌握用消元法求解线性方程组。

6.理解线性方程组有解判定定理。了解线性方程组的特解、一般解等概念，熟练掌握求线性方程组一般解的方法，会求线性方程组的特解。

[重难点]矩阵运算，初等行变换，线性方程组解的讨论与解法。 [教学内容]

矩阵

一、主要内容： （一）、概念 ⒈矩阵定义：Am n (aij)m n 是一张矩形阵表。（它m行n列，其中aij中i表示第i行，j表示第j列） ①、 ②、

零矩阵：om n (0)m n 负矩阵： Am n ( aij)m n

③、

b1

行矩阵和列矩阵：(a1, ,an)，

bm

方阵：An n (aij)n n

④、

⒉特殊矩阵

①、 单位矩阵：I ②、 数量矩阵： ③、 对角矩阵： ④、 三角矩阵：（上三角矩阵和下三角矩阵） ⑤、

对称矩阵：A A

T

⒊阶梯形矩阵和简化阶梯形矩阵

⒋矩阵秩的定义：对应阶梯形矩阵的非零行的行数。

⒌逆矩阵定义：AA AA

1

1

I, A, 1A为互逆矩阵。

⒈矩阵的相等：同形矩阵对应位置元素相等。 ⒉矩阵的加减法：A B (aij bij)m n ⒊矩阵的数乘：kA (kaij)m n

⒋矩阵的乘法：C AB

矩阵乘法不满足交换律，即AB BA一般不成立（若矩阵A, B满足AB BA，则称A, B为可交换的）．

矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵AC BC及矩阵C 0，不能推出A B．但当C可逆时，AC BC A B． 矩阵A 0,B 0，可能有AB 0． ⒌方阵的幂：A A A A（m个相乘）

⒍矩阵的转置：A (aij)n m 称为Am n (aij)m n的转置。

（三）、方法

⒈矩阵的初等行变换

⒉初等行变换化矩阵为阶梯形 ⒊初等行变换求矩阵的秩 ⒋初等行变换求逆矩阵

二、实例分析：

例1 若A，B是两个ｎ阶方阵，则下列说法正确是（ A．若AB＝0，则A＝0或B＝0 B．(A+B)＝A 2A B B

C．若秩(A) 0, 秩(B) 0,则秩(AB) 0 D．若秩(A) n, 秩(B) n,则秩(AB) n

解 选项A： A＝0或B＝0只是AB＝0的充分条件，而不是必要条件，故A错误；

2

2

2

2

2

2

m

T

）．

选项B：(A+B)＝A A B B A B，矩阵乘法一般不满足交换律，即

A B B A，故B错误；

选项C：由秩(A) 0,秩(B) 0, 说明A，B两个矩阵都不是0矩阵，但它们的乘

积有可能0矩阵，如A 立，即C错误；

01 11 00

，则．故秩(AB) 0不一定成,B AB

01 00 00

选项D：两个满秩矩阵的乘积还是满秩的，故D正确．

21 例2 设矩阵A 1 20 ，B 10，则AB＝． 01 21 解 因为 AB＝ 1 20 10= [4 1] 01

所以，应该填写：[4 1]

1 0

例3 矩阵

0 0

3 21101101000

0 0

的秩是( ) 0 0

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 因为

1 0 0 0

3 21101101000

0 1

00 0 0 0 0

3 211010 11000

0 1

00 0 0 0 0

3 21101001000

0 0 0 0

对应的阶梯形矩阵有3个非0行，故该矩阵的秩为3． 正确选项是：C

例4 设矩阵

0 36 2 6

A=01 2，B 91 3 19 08

则矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是 ．

解 根据乘法法则可知，矩阵A与B的乘积AB的第3行第1列的元素的值是A的第3行元素与B的第1列元素的乘积之和，即

3×2＋（－1）×9＋9×0 ＝ -3 应该填写：-3

例5 设A是m n矩阵,B是s n矩阵, 则运算有意义的是( )．

A．AB B．AB C．AB D．AB 解 根据乘法法则可知，两矩阵相乘，只有当左矩阵的行数等于右矩阵的列数时，它们的乘积才有意义，故矩阵AB有意义．

T

T

T

T

T

正确选项是A．

例6 设方程XA－B=X，如果A－I 可逆，则X= ． 解 由XA－B = X，得XA－X = B，X(A－I ) = B

－1

故X = B(A－I )．

－1

所以，应该填写：B(A－I )

－1

注意：矩阵乘法中要区分“左乘”与“右乘”，若答案写成 (A－I ) B，它是错误的．

1 32 ，求矩阵A． 1

1例7． 设矩阵 A 30

1 1 1

解 因为 [A

1

1 32I] 1 30

1 1 1

1

100

010 001

00

112 101 1

1 32

0 97 04 3 10 1 0 11 1 00

00 1 32

310 0 11 101 04 3

100 2 3 6

112 010

349 001113

237 349

113

所以 A 237 349

例8 已知矩阵 解 因为

a1 b1 67

，求常数a，b ． 2

a0 0b 63

a1 b1 aba b2 67

2

a 63 a0 0b ab

所以 a 3,ab 6，得b = 2 ．

12 30

例9．设矩阵A，B满足矩阵方程AX ＝B，其中A ，B 02 , 求X ．

10

解法一：先求矩阵A的逆矩阵．因为

10 1210 1210 AI 01 1001 0211 0

1

所以 A 1

0

1

且 X A 1B 0 1 30 0 2

02 1

解法二： 因为 A

B 1230

1002

1230

1 0232 0 所以 X 0 2 1

例10 设矩阵

10 1

A 314 1

B 5

100 4

试计算A-1

B．

10 解 因为 [AI] 1100

314010 0001 10

10 11

00 10

011310

001

101

01 00 001

所以

A 1 41 1

101

且 A 1

B 001 41 1 1 4 01 5 4 13

1 5

例11 设A，B均为n阶对称矩阵，则AB＋BA也是对称矩阵． 证 因为 A，B是对称矩阵，即

00 2 11 0

1

041 1

1 101

AT A，BT B

且 (AB BA)T (AB)T (BA)T BA AB

BA AB AB BA 根据对称矩阵的性质可知，AB＋BA是对称矩阵．

例12 设A是n阶矩阵，若A= 0，则(I A) 1 I A A2．

3

T

T

T

T

证 因为 (I A)(I A A2)

=I A A A A A …… 此处隐藏：2733字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……