微分中值定理论文

引言

通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。由此可知，对于深入的了解微分中值定理，可以让我们更好的学好数学分析。通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系，而且也是微分学理论应用的基础。微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系[1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根（零点）的存在性, 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。 中值定理的内容及联系 基本内容[4][5]

对于，微分中值定理的了解，我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。它们分别是“罗尔（Rolle）定理、拉格朗日（Lagrange）定理和柯西（Cauchy）定理”。这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理

若f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且f a f b ，则至少存在一点 a,b ，使f 0。 Lagrange定理

fa 若f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，则至少存在一点 a,b ，使f =fb

b aCauchy定理

设f x ，g x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导，且g x 0，则至少存在一点

a,b ，使得

f b f a f 。

gb gag 三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。那它们之间具体有什么样的关系呢？我们又如何来探讨呢？这是我们要关心的问题，我们将利用推广和收缩的观点来看这三个定理。首先我们先对这三个定理进行观察和类比，从中可以发现，如果把罗尔定理中的f a f b 这一条件给去掉的话，那么定理就会变成为拉格朗日定理。相反，如果在拉格朗日定理中添加f a f b 这一条件的话，显然就该定理就会成为了罗尔定理。通过这一发现，可以得到这样的一个结论：拉格朗日定理是罗尔定理的推广，而罗尔定理是拉格朗日定理的收缩，或是它的特例。继续用这一思路来看拉格朗日

定理和柯西定理，看看这两者之间又是如何的联系？我们先对柯西定理进行观察，从观察中会是我们作出这样的假设，如果令定理中的g x x的话，发现定理成为了拉格朗日定理。这使得我们发现他们二者之间的联系， 拉格朗日定理是柯西定理收缩，而柯西定理则是拉格朗日定理的推广。我们利用这一方法可以得到它们之间的关系。

总的来说，这三个定理既单独存在，相互之间又存在着联系。我们从上面的讨论中可以总结得到，罗尔定理是这一块内容的基石，而拉格朗日定理则是这一块内容的核心，那么柯西定理是这一块内容的推广应用。

如果我们从几何的意义上来看这三个中值定理的话，那它们之间又是如何的呢？在这里我们不具体的给予研究，而是直接给予结果。若用几何解释：“若一条连续的曲线，曲线上端点除外的每一点都有切线存在，且存在的切线于x轴相交的夹角不为直角；那么像这一类曲线具有共同的属性——曲线上有一点，它的切线与曲线端点的连线平行”。 定理的推广[6][7]

前面我们已经讨论了定理之间的关系，接下来我们来看它们的推广。从前面的内容我们知道，这三个定理都要求函数f x 在 a,b 上是连续，在 a,b 内是可导。那么我们如果把定理中的闭区间 a,b ，把它推广到无限区间 a, 或 , ，再把开区间 a,b 推广到无限区间 a, 或 , 的话，则这些定理是否还能满足条件，或者我们能得出哪些相应的定理呢？

通过讨论研究我们知道，按照以上的想法把中值定理的区间，推广到无限区间上可以得到几个相应的定理，本文在此只提到其中的三个，下面给出定理以及证明。

定理1 若f x 在 a, 上连续，在 a, 内可导，且limf x f a ，则至少存在

x 一点 a, ，使f 0成立。 证明： 令

111

t，则x a 1，即可得到关于t参数函数 t a 1

tx a 1t

当x a, 时，则t 0,1

即 1 a，lim t ，再令f x f t g t t 0

limg t limf t limf x f a f 1 g 1

t 0

t 0

x

g 0 limg t

t 0

g 0 g 1

g t 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，且g 0 g 1 ，由Rolle定理可得到

至少存在一点 0,1 ，使g 0成立

令 ，有f 0，而 12 0.

至少存在一点 a, ，使f 0成立

证毕

定理2 若f x 在 , 上连续，在 , 内可导，并且limf x limf x ，至少

x x 存在一点 , ，使f 0成立。 定理2的证明可以参照定理1。

定理3 若f x 在 a, 上连续，在 a, 内可导，并且limf x M，则至少存在

x

一点 a, ，使

M f a 成立。 f 2

1 a

证明：设t

1

，则x 1 a 1，即可得到关于t参数函数 t 1 a 1

x a 1tt

当x a, 时，则t 0,1

即 1 a，lim t ，再令f x f t g t t 0

limg t lim t limf x M

t 0

t 0

x

g 0 limg t M

t 0

g t 在 0,1 上连续，在 0,1 内可导，由Lagrange定理得

至少存在一点 0,1 ，使g g 1 g 0 成立

1 0

即g f a M

令 ，有g f ，而

1

2

1 a ，

2

至少存在一点 a, ，使

M f a 成立. f 2

1 a

证毕 定理的应用

通过上面对定理的研究和探讨，加深了我们的理解。我们知道中值定理在解题中具有十分广泛的应用，现在我们来看看这三个定理的具体运用。我们学知识，不仅仅是为了让我们知道，

更主要的是学了要会用，这才是最关键的。 利用定理证明方程根（零点）的存在性

例1 若f x 在 a,b 上连续，在 a,b 内可导 a 0 ，证明在 a,b 内方程

22

2x f b f a b a f x 至少存在一根。

22分析：由于题目是要求方程2x f b f a b af x 是否有根存在，所以可以先

22对方程进行变形，把方程变为2x f b f a b af x 0。那么方程

222x f b f a b a f x 有根的话，则原方程也有根。变形之后的方程有f x 存

22在，所以可以利用不定积分把方程2x f b f a b a f x 0，转变为222 f b f a x b a f x 0。现在我们返回来看题目，由题目中我们可以知道

f x 在区间 a,b 上连续，在区间 a,b 内可导 a 0 ，由函数的连续性和求导的概念，

222可以得到函数 f b f a x b af x 在 a,b 上连续,在 a,b 内可导 a 0 ，

那么我们不难想到利用罗尔中值定理就可以证明该题了。

222证明:令F x fb fax b af x ，

显然F x 在 a,b 上连续,在 a,b 内可导， 而F a f b a2 b2f a F b . 根据Rolle定理, 至少存在一点 ，

22使2 f b f a b a f x .

证毕

222本文主要在于辅助函数F x f b f a x b af x 的构造，我们从结论出 …… 此处隐藏：5576字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……