理力B第14章 拉氏方程

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第十四章 动力学普遍方程和 拉格朗日方程§1 动力学普遍方程 §2 拉格朗日方程

§3 拉格朗日方程的首次积分

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§14-1 动力学普遍方程

由达朗伯原理: Fi Ni FIi 0 理想约束： N i ri 0 Fi FIi ri 0

由虚位移原理有： 动力学普遍方程

FIi mi ai

Fi mi ai ri 0

达朗伯---拉格朗日方程

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将 Fi mi ai ri 0写成解析式i 1

x y z Fxi mi i xi Fyi mi i yi Fzi mi i zi 0n

应用特点： 1,是求解质点系动力学问题最普遍的方法。 2,对非自由质点系不必考虑理想约束的约 束反力，

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14-3 已知：m , r , R ,只滚不滑， 求：圆体柱在平衡位置运动微分方程 解：圆体柱受理想约束

oR

s r RI r mgrsin M I 0 ao1 R r r 2g 1 r mgrsin m R 0 r 0 sin m R r r 3 R 2 r

MI r s o1 R n RI mg I 2 RI mgsin s M I 0

RI mao1 m R r n n 2 RI mao1 m R r 1 2 M I J o1 mr

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14-3 已知：m , r , R ,只滚不滑， 求：圆体柱在平衡位置运动微分方程 解：圆体柱受理想约束

oR

r o1

mg

1 T J p 2 2 3 T mR 2 2 4

2g 1 r mgrsin m R 0 r 0 sin m R r r 3 R 2 r

s r ao1 R r r

RI mgsin RI r mgrsin

s M I 0 MI 0

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例 已知：离心调速器，P, Q,l, =常数，不计杆重 o 求： 与 关系 l

xl

B A y 解：对离心调速器 FIB FIA n n 2 P P a A aB l sin l l P c FIA FIB l sin Q g

由动力学普遍方程

FIA x A FIB xB P y A P yB Q yC 0

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x y A yB lcos o x A lsin l l xB lsin yC 2lcos B A y x A lcos FgB FgA xB lcos P P l l yC 2lsin c Q y A yB lsin 2 P l cos g 2 2

各点坐标及虚位移

P Q g 2 PlPl 2Ql sin cos

0

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§14-2 拉格朗日方程动力学普遍方程 拉格朗日方程以广义坐标表示

一、拉格朗日关系式

i r i q j q j

ri ri q1 ,q2 ,....,qk ,t k r dr i q ri i j dt j

1 q j t

q1 , q2 ,......,qk

第一个拉格朗日关系式

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将上式对广义坐标 qs 取偏导数，有 2 2 k i ri ri qj qs t qs j 1 q j qs d ri dt qs 2 k r r q t q q q j j 1 s s j 2

经比较 S换j

d r i i ( ) dt qs qs ri i d ( ) dt q j q j

第二个拉格朗日关系式

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二、拉格朗日方程 k r n i q Fi Fgi ri 0 , ri j j 1 q j i 1 n n ri ri Fgi Fi i 1 q j q j j 1 i 1k

q j 0

广义主动力

ri 广义惯性力 n ri Q j Fi Qgj Fgi q j q j i 1 i 1n

Q j Qgj q j 0k j 1

广义虚位移 q j 是彼此独立变化的,因此

Q j Qgj 0

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Q gj

1 1 22 m i i n r n d 2 m i i 1 d r 2 i r 1m 2 d mi ai i ) mii ii i i i q j i dt dt q j ( q jj 2 q j dt q q 2 q i 1 1

ri d i d ri i ri mi ai mi i mii ii m q j dt q jj dtq q j j q j q j

n ri ri Fgi mi ai q j q j i 1 i 1n

j

j

Q j Qgj 0 拉格朗日方程

d T T Qj dt q j q j

是一组用广义坐标表示的二阶常微分方程.

j 1,2 ,..., k

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拉格朗日方程d T T Qj dt q j q j

j 1,2 ,..., k

是一组用广义坐标表示的二阶常微分方程.

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若主动力为有势力, 则广义主动力

d T T U dt q j q j q j U 0 q j

U Qj q j

d T U T U 0 dt q j q j

令 L T U —拉格朗日函数(动势)d L L 0 dt q j q j

j 1,2,..., k

这就是保守系统的拉 格朗日方程!

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拉格朗日方程1.保守系统

d T T Qj dt q j q j j 1,2 ,..., k

2.非保守系统

d L L 0 dt q j q j j 1,2,..., k

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例 已知：均质杆AB=l,P,滑块A重量不计 斜面光滑,倾角为 求：杆的运动微分方程. 解：系统有两个自由度， 广义坐标：x 、

x x

A

广义虚位移： x、

x 0, 0 W Psin x α P x 0, 0 Qx Psin P B B l l W Psin Q P sin 22

Q 广义

力： x , Q

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1 1 2 T m c I c 2 杆的动能 2 2 2 2 2 2 l c x lx cos α 4 1 1 1 2 l 2 2 2 2 T m x lx cos (α ) ml 2 12 2 4

x

x α

A

T m mx l cos( ) x 2

T m 2 m m 2 l lx cos( ) l l 4 2 12 2

x c T PB x

0

T m l x sin( ) 2