高等代数(北大版第三版)习题答案II 2

第六章 线性空间

1.设M N,证明：M N M,M N N。

证 任取 M,由M N,得 N,所以 M N,即证M N M。又因

M N M,故M N M。再证第二式，任取 M或 N,但M N,因此无论

哪 一种情形，都有 N,此即。但N M N,所以M N N。

2.证明M (N L) (M N) (M L)，M (N L) (M N) (M L)。

证 x M (N L),则x M且x N L.在后一情形，于是x M N或x M L.所以x (M N) (M L)，由此得M (N L) (M N) (M L)。反之，若

x (M N) (M L)，则x M N或x M L. 在前一情形，x M,x N,因此x N L.故得x M (N L),在后一情形，因而x M,x L,x N L，得

x M (N L),故(M N) (M L) M (N L),

于是M (N L) (M N) (M L)。

（N L），则x M，x N L。 若x M

（M L）因而x （M N）在前一情形Xx M N， 且X M L，。

在后一情形，x N,x L,因而x M N,且X M L，即X （M N） （M L）所以 （M N） （M L） M （N L）故 M （N L）=（M N） （M L）即证。

3、检验以下集合对于所指的线性运算是否构成实数域上的线性空间：

1） 次数等于n（n 1）的实系数多项式的全体，对于多项式的加法和数量乘法；

2） 设A是一个n×n实数矩阵，A的实系数多项式f（A）的全体，对于矩阵的加法和数量

乘法；

3） 全体实对称（反对称，上三角）矩阵，对于矩阵的加法和数量乘法； 4） 平面上不平行于某一向量所成的集合，对于向量的加法和数量乘法； 5） 全体实数的二元数列，对于下面定义的运算：

（a1，b1）（ a b （a1 a2，b1 b2 a1a2）

（kk 1）2k。（a1，b1）=（ka1，kb1+a1

2

6） 平面上全体向量，对于通常的加法和如下定义的数量乘法： k a 0； 7） 集合与加法同6），数量乘法定义为：

k a a；

8） 全体正实数r，加法与数量乘法定义为：

a b ab，k a ak；

解 1）否。因两个n次多项式相加不一定是n次多项式，例如

（x 5） （ x 2） 3。

2）令V={f（A）|f（x）为实数多项式，A是n×n实矩阵}

因为

f（x）+g（x）=h（x），kf（x）=d（x） 所以

f（A）+g（A）=h（A），kf（A）=d（A）

由于矩阵对加法和数量乘法满足线性空间定义的1~8条，故v构成线性空间。

3）矩阵的加法和和数量乘法满足线性空间定义的1~8条性质，只需证明对称矩阵（上三角矩阵，反对称矩阵）对加法与数量乘法是否封闭即可。下面仅对反对称矩阵证明： 当A，B为反对称矩阵，k为任意一实数时，有

=A+B =-A-B=- （A+B）（A+B） ，A+B仍是反对称矩阵。 K A（KA） （K ）A （）KA ，所以kA是反对称矩阵。

故反对称矩阵的全体构成线性空间。

4）否。例如以已知向量为对角线的任意两个向量的和不属于这个集合。 5）不难验证，对于加法，交换律，结合律满足，（0，0）是零元，任意（a，b）的负元是（-a，a-b）。对于数乘：

2

nn

1(1 1)2

a) (a,b),2l(l 1)2l(l 1)k(k 1)

k.(l.(a,b) k.(la,lb a) (kla,k[lb a2] (la)2)

222

l(l 1)2k(k 1)kl(kl 1)2k(k 1)

(kla,k[lb a] (la)2) (kla,a (la)2)

2222

kl(kl 1)2

(kla,a klb) (kl).(a,b),

2

(k l)(k l 1)2

(k l).(a,b) [(k l)a,a (k l)b]

2

k(k 1)2l(l 1)2

k.(a,b) l.(a,b) (ka,kb a) (la,lb a

22

k(k 1)2k(k 1)2

(ka la,kb a a kla2)

22(k 1)(k l 1)2

[(k l)a,a (k l)b].

21。（a，b）（。 1a，1。b

即(k l) (a,b) k (a,b) l (a,b)。

k [(a1,b1) (a2,b2)] k (a1 a2,b1 b2 a1a2)

＝[k(a1 a2),k(b1 b2 a1a2

k(k 1)

(a1 a2)2)]， 2

k (a1,b1) k (a2,b2)

k(k 1)2k(k 1)2

a1) (ka2,kb2 a2) 22k(k 1)2k(k 1)2

a1 kb2 a2 k2a1a2) ＝(ka1 ka2,kb1

22

k(k 1)2k(k 1)2

a1 a2 k2a1a2 ka1a2) ＝(k(a1 a2),k(b1 b2 a1a2)

22k(k 1)222

(a1 a2))， ＝(k(a1 a2),k(b1 b2 a1a2)

2

＝(ka1,kb1

即k (a1,b1) (a2,b2) k (a1,b1) k (a2,b2)，所以，所给集合构成线性空间。 6）否，因为1 0 .。

7）否，因为(k l) ,k l 2 ,所以(k l) (k ) (l )， 所给集合不满足线性空间的定义。

8）显然所给集合对定义的加法和数量乘法都是封闭的，满足

i)a b ab ba b a;

ii)(a b) c (ab) c abc a (bc) a (b c);iii)1是零元：a 1 a 1 a;

1111

iv)a的负元是:a a 1,且 a 1;

aaaa

v)1 a a1 a;

vi)(k (l a)) k (al) (al)k alk akl (kl) a;vii)(k l) a ak l ak al (ka) (la);

viii)k (a b) k (ab) (ab)k akbk (k a) (k b).

所以，所给集合R构成线性空间。

4 在线性空间中，证明：1）k0 0 2）k( ) k k 。

证 1）k0 k( ( )) k k( ) k k( 1) (k ( k)) 0 0。

2）因为k( ) k k( ) k ,所以k( ) k k 。

5 证明：在实函数空间中，1，cos2t,cos2t式线性相关的。

2

证 因为cos2t 2cost 1，所以1，cost,cos2t式线性相关的。

2

6 如果f1(x),f2(x),f3(x)是线性空间P[x]中三个互素的多项式，但其中任意两个都不互

素，那么他们线性无关。

证 若有不全为零的数k1,k2,k3使k1f1(x) k2f2(x) k3f3(x) 0，

不妨设k1 0,则f1(x)

kk2

f2(x) 3f3(x)，这说明f2(x),f3(x)的公因式也是f1(x)k1k1

的因式，即f1(x),f2(x),f3(x)有非常数的公因式，这与三者互素矛盾，所以

f1(x),f2(x),f3(x)线性无关。

7 在P4中，求向量 在基 1, 2, 3, 4下的坐标。设

1） 1 (1,1,1,1), 2 (1,1, 1, 1), 3 (1, 1,1 1), 4 (1, 1, 1,1), (1,2,1,1)；

2） 1 (1,1,0,1), 2 (2,1,3,1), 3 (1,1,0,0), 4 (0,1, 1, 1), (0,0,0,1)。

a b c d 1 a b c d 2

解 1）设有线性关系 a 1 b 2 c 3 d 4，则 ，

a b c d 1 a b c d 1

可得 在基 1, 2, 3, 4下的坐标为a

5111

,b ,c ,d 。 4444

a 2b c 0

a b c d 0

2）设有线性关系 a 1 b 2 c 3 d 4，则 ，

3b d 0 a b d 1

可得 在基 1, 2, 3, 4下的坐标为a 1,b 0,c 1,d 0。

8求下列线性空间的维数于一组基：1）数域P上的空间Pn n；2）Pn n中全体对称（反对

称，上三角）矩阵作成的数域P上的空间；3)第3题8)中的空间;4)实数域上由矩阵A的全

100

1 i

0 , 体实系数多项式组成的空间,其中A= 0 。

2 00 2

解 1)P

n n

的基是E}(i,j 1,2,...,n),且dim(P

ijn n

) n2。

...

2) i)令Fij

... ...

......1...

，即a a 1,其余元素均为零,则......ijji

1.........

......

F11,...,F1n,F22,...,F2n,...,Fnn 是对称矩阵所成线性空间Mn 的一组基,所以Mn是

n(n 1)

维的。 2

...

ii)令Gij

... ...

......1...

，即a a 1,(i j),其余 …… 此处隐藏：9703字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……