高中数学选修1-1(文)第三章__导数及其应用_例题与练习

第三章 导数及其应用 第一节 变化率与导数 主编：李明 审定：贾荣信

知识梳理

1.平均速度：物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度，即一段时间或一段位移内的速度； 若物体的运动方程为s f(t),则物体从t到t t这

f(t t) f(t)

段时间内的平均速度v(t, t) ；一般的，函数f(x)在区间[x1,x2]

t

f(x2) f(x1)x2 x1

上的平均变化率为。 2. 瞬时速度：是某一时刻或位置物体的速度，方向与物体运动方向相同。我们测量的瞬时速度是用很短时间内的平均速度来代替的，是对物体速度的一种粗

f(t t) f(t)

略的估算。当平均速度v(t, t) 中的 t无限趋近于0 时，平均速

t

f(t t) f(t)

度v(t, t) 的极限称为在时刻t的瞬时速度v(t)，记作

t

sf(t t) f(t)v==( t 0)。求瞬时速度的步骤为： t t

(1)设物体的运动方程为s f(t)；

(2)先求时间改变量 t和位置改变量 s f(t t) f(t);

sf(t t) f(t)

(3)再求平均速度 v(t, t)

t t

sf(t t) f(t)

(4)后求瞬时速度：瞬时速度v==( t 0).

t t

3. 求函数y f(x)的导数的一般方法：

（1）求函数的改变量 y f(x x) f(x)．

yf(x x) f(x)

（2）求平均变化率．

x x

y

（3）取极限，得导数y/＝f (x) ( x 0)．

x

4.y f(x)上点（x0,f(x0)）处的切线方程为y f(x0) f/(x0)(x x0);

3.1.1 变化率问题

例：设函数f(x) x2 1，求：

（1）当自变量x由1变到1.1时，自变量的增量 x； （2）当自变量x由1变到1.1时，函数的增量 y； （3）当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率；

解：（1） x 1.1 1 0.1

（2） y (1.12 1) (12 1) 0.21

y0.21（3） 21

x0.1

yf(x x) f(x)

评析：本题也可以由直接求解。

x x

点击双基

1. 在求平均变化率中，自变量的增量 x（ ）

Ａ． x 0 Ｂ． x 0 Ｃ． x 0 Ｄ． x 0 解：故选D

2. 一质点的运动方程是，则在一段时间 1,1 t 内相应得平均速度为：（ ） Ａ．3 t 6 Ｂ． 3 t 6 Ｃ．3 t 6 Ｄ． 3 t 6

s(1 t) s(1)5 3(1 t)2 2

解：平均速度=== 3 t 6，故选D

t(1 t) 13、在曲线y=x2+1的图象上取一点（1,2）及邻近一点（1+Δx,2+Δy）,则（ ）

111

+2 B.Δx－－2 C.Δx+2 D.2+Δx－ x x x x(1 x)2 1 (1 1)解: ==Δx+2，故选C

y x

x

为 y

A.Δx+

4.一物体位移s和时间t的关系是s=2t-3t2,则物体的初速度是s(t) s(0)

解：平均速度==2-3t,当t趋向0时，平均速度趋向2.

t

5. 一个物体的运动方程为s 1 t t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在3秒末的瞬时速度是

s(3 t) s(3)解： t 5( t 0) 5

t

课外作业： 一．选择题

1、若质点M按规律s t3运动，则t 3秒时的瞬时速度为（ ）

A．2 B．9 C．27 D．81 s(3 t) s(3)解： t2 9 t 27( t 0) 27，故选C

t

2、任一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关系是s 3t t2，则物体的初速度是（ ） A 0 B 3 C －2 D 3 2t

s(0 t) s(0)解： t 3( t 0) 3，故选B

t

3、设函数y f x ，当自变量x由x0改变到x0 x时，函数的改变量 y为（ ） A f x0 x B f x0 x C f x0 x D f x0 x f x0 解： y=f x0 x f x0 ，故选D

4、物体的运动方程是s 4t2 16t，在某一时刻的速度为零，则相应时刻为( ) A．t 1 B．t 2 C．t 3 D． t 4

s(t t) s(t)解： 4 t 8t 16( t 0) 8t 16 0,t 2，故选B

t

5、一个物体的运动方程为s 1 t t2其中s的单位是米，t的单位是秒，那么物体在1秒末的瞬时速度是（ ）

A．3米/秒 B．2米/秒 C．1米/秒 D．4米/秒

s(1 t) s(1)解： t 1( t 0) 1，故选C

t

y333

6、在曲线y x2的图象上取一点（1,）及附近一点 1 x, y ，则为

222 x

（ ）

3313131

A x 3 B x 3 C x 3 D x 3

22 x2 x2 x

y3解：= x 3，故选C

x2

7. ．物体的运动规律是s s(t)，物体在 t,t t 时间内的平均速度是（ ）

ss( t)s(t t) s(t)

Ａ．v Ｂ．v

t t ts(t)s(t t) s(t)

Ｃ．v Ｄ．当 t 0时，v 0

t t

解：由平均变化率知 故选B

8.将边长为8的正方形的边长增加 a,则面积的增量 S为 （ ） A．16 a2 B.64 C.a2+8 D.16 a+ a2

解： S =S（8+ a）-S（8）=（8+ a)2-82=16 a+ a2 故选D 二．填空题：

9、已知一物体的运动方程是s 6t2 5t 7，则其在t ________时刻的速度为7。

s(t t) s(t)解： 6 t 12t 5( t 0) 12t 5 7,t 1

t

10. 物体运动方程y=x2+3x，则物体在时间段 2,4 上的平均速度为＿＿＿＿＿＿

(42 3 4) (22 3 2)解：平均速度==9

4 2

11、当球半径r变化时，体积V关于r的瞬时变化率是＿＿＿＿＿＿

44 (r r)3 r3

v4解：==4 r2 4 r r r2;所以瞬时变化率是4 r2。 r3 r三解答题：

12、环城自行车比赛运动员的位移s与比赛时间t满足s 10t 5t2（s的单位：米，

s

求t 20, t 0.1时 s与。 t的单位：秒）

t

解 s s(20 t) s(20) 21.05

s21.05 210.5 t0.1

13. 设一物体在t秒内所经过的路程为s米，并且s 4t2 2t 3，试求物体在运动第5秒末的速度。

4(5 t)2 2(5 t) 4(52 5)

解：s (5) ( x 0) (42 4 t)( x 0) 42

t

2

14、求函数y=-x+4x+6在x=2时的瞬时变化率

( (x x)2 4(x x) 6) ( x2 4x 6)

解：平均变化率==-2x+4- x

x

当 x趋于0时, 瞬时变化率为-2x+4, x=2, 瞬时变化率为0.

思悟小结

求瞬时速度的步骤：

1．设物体的运动方程为s f(t)；

2.先求时间改变量d和位置改变量 s f(t d) f(t);

sf(t d) f(t)

3.再求平均速度

dd

sf(t d) f(t)

4.后求瞬时速度：当d无限趋近于0，无限趋近于常数v，即

dd

为瞬时速度。

3.1.2 问题探索 求作抛物线的切线 典例剖析

题型一 平均变化率

例1：在曲线y x2 1的图象上取一点(1 ,2)及邻近一点（1＋Δx，2＋Δy）求

Δ y

Δ y

解： Δy=(1 x)2 1-(12+1)= x2+2 x， = x+2

f(x0 x) f(x0) y 评析：平均变化率

(x0 x) x0 x

题型二 抛物线的切线

例2. 求抛物线y=f(x)=2x2-x在（1，1）点处的切线斜率

f(1 x) f(1)

解： =3+2 x，令 x趋于0，则3+2 x趋于3. 切线的斜率

x

k=3,

评析：以上三种类型的问题中例1是平均变化率，而例2与例3都是瞬时变化率。瞬时变化率就是平均变化率在改变量 x趋于0时的极限值。 备选题

（x0,y0）（x0,y0）例3：曲线y x2 …… 此处隐藏：13083字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……