线性代数课后习题1答案(谭琼华版)

线性代数课后题详解

第一章 行列式

1.利用对角线法则计算下列三阶行列式： (1)

21

-1221解： 2 2 1 ( 1) 5；-12

(2)

x 11

22

xx x 解：

(3)

x 112232

(x 1)(x x 1) x x x 1；22

xx x ab

;

22ab

ab22解： ab ba;

22ab

111

(4)

314; 895

111

解：

314 1 1 5 1 4 8 1 3 9 1 1 8 1 3 5 1 4 9 5; 895

0a

0c; 0

b

(5)

0d

解：

0a0

b0c 0 0 0 a c 0 0 b d 0 0 0 a b 0 0 c d 0; 0d0

123

(6)

312 231123

解：

312 1 1 1 2 2 2 3 3 3 3 1 2 2 3 1 1 2 3 18. 231

2.求下列排列的逆序数： （1）34215；

解：3在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；4的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2；1的前面有3个比它大的数，逆序数为3；5的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为5. （2）4312；

解：4在首位，前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面有1个比它大的数，逆序数为1；1的前面有2个比它大的数，逆序数为2；2的前面有2个比它大的数，逆序数为2.因此排列的逆序数为5.

（3）n(n-1)…21；

解：1的前面有n-1个比它大的数，逆序数为n-1；2的前面有n-2个比它大的数，逆序数为n-2；…；n-1的前面有1个比它大的数，逆序数为1；n的前面没有比它大的数，逆序数为0.因此排列的逆序数为n(n-1)/2.

(4）13…(2n-1)(2n) …42.

解：1的前面没有比它大的数，逆序数为0；3的前面没有比它大的数，逆序数为0；…；2n-1的前面没有比它大的数，逆序数为0；2的前面有2n-2个比它大的数，逆序数为2n-2；4的前面有2n-4个比它大的数，逆序数为2n-4；…；2n的前面有2n-2n个比它大的数，逆序数为2n-2n.因此排列的逆序数为n(n-1). 3.写出四阶行列式中含有因子a11a23的项. 解 由定义知，四阶行列式的一般项为

( 1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t为p1p2p3p4的逆序数．由于p1 1,p2 3已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.对应的t分别为

0 0 1 0 1或0 0 0 2 2

a11a23a32a44和a11a23a34a42为所求.

4.计算下列各行列式：

41(1)

041解：

4

=-

12511251

23

2021202142； 0744 12c2 c3120c4 7c33700

214

2 10

4 1 10

02

22 ( 1)4 3 =1

2 14

3 14

10

10

= 0.

110

1c2 c3c1 c3

2

9

-

9

00 21714

01(2)

110

解：

11; 10100

1011c2 c41 1

1011111011

1101c3 c4111101

1

=-0

1

00 111

101

1 ( 1)4 1 =0

1

110

01

c2 c11 1 1-1 1=-=-3.

21

121

ab

(3)

ac cdcfac cdcf

aede efae

；

bdbf abbdbf

aa df

a 111

解：

de bced eff

=( 1)

2 1

d abcdef1

f1 11abcdef2 21

c c

1 2302 1

c1 c3

001

01

2abcdef 4abcdef.

2 a10 1b1(4)

0 1c00 1a10 1b1解：

0 1c00 1

00; 1d001 aba0

aba0

0r1 ar2 1b102 1

c1 =( 1) ( 1) 1

10 1c1

0 1d

d00 1d

abaad

c3 dc2 abad

1c1 cd=( 1)3 2 ( 1)

11 cd

0 10

=abcd ab cd ad 1.

a b c2a2a(5)

2bb a c2b; 2c2cc a b

a b c

解：

2b2c

02ac1 c3 a b c

b a c2b0 a b c2bc2 c3

2cc a ba b ca b cc a b

2a2a

02a02ar3 r1 a b cr3 r2 a b c

=3. 0 a b c2b0 a b c2b(a b c)

0a b cc a b00c a b

22 404 135(6) ;

31 2 32051 22 40 22 40

204 135c1 2c4 6 1 225 22 4c1 c20

解: = 6 1 22 7 1 2431 2 3c3 5c19113 3c3 2c2

91131011520510001

= 2 7 24= 2[ 7 15 ( 24) 10] 270.

1015

122 2222 2(7) 223 2;

222 n122 2

222 2r r

i1

解：223 2

i 2, ,n

222 n

a0 010a 00(8) .

00 a0

10 0aa0 01

0a 00解： ( 1)1 1a

00 a0

10 0a

=a ( 1)

5.证明下列等式:

n

n 1

22 00 01

200

00 n 2

22 1 ＝( 1)2 1

20＝

2[(n 2)!]. n 2

a

aan 1阶a

( 1)1 (n 1)

an 2阶

0 01

( 1)n 1

a 00

a0n 1阶

an an 2.

a2

(1)

ab

b2

2aa b2b=(a b)3; 111a2

ab1

b21

2aa b2b1

c2 c1c3 c1

a22a1

ab a2b a0

b2 a2

2b 2a ( 1)0

3 1

证明：

ab a2

b ab2 a22b 2a

(b a)2

a2

(2)

ab a

(a b)3.

12

(a 1)2(b 1)2

(c 1)2(d 1)2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2

(a 3)2

(b 3)2

0; 2

(c 3)(d 3)2

(a 3)2

a2

2a 14a 42b 14b 42c 14c 4

6a 96b 96c 9

b2c2d2a2b2c2d2

证明：

(b 3)2c2 c1b2(c 3)2c3 c1c2(d 3)2c4 c1d2

2d 14d 46d 9

a2

按第二列b2

2

分成二项c2

d2

abcd

4a 46a 94b 44c 4abcd

a214a 4

14b 414c 46a6b6c6d

0.

6a 96b 96c 9

6b 9b2

2

6c 9ca2 b2c

2

4d 46d 9

49494949

d214d 46d 914a14b14c

c3 4c2a2

第一项

c4 6c2b2第二项

c3 4c2cc4 9c2d2

2

d214d

x

(3)

1x 0an 1

0 1 0

00 x

00 1x a1

0 0an

xn a1xn 1 an 1x an.

an 2 a2

证明：用数学归纳法证明

当n 2时,D2

Dn 1

xa2

1x a1

x2 a1x a2,命题成立.

假设对于(n 1)阶行列式命题成立，即

xn 1 a1xn 2 an 2x an 1,

则Dn按第1列展开:

10 00x 1 00

xDn 1 an xn a1xn 1 an 1x an, Dn xDn 1 an( 1)n 1

00 x 所以，对于n阶行列式命题成立. 6.计算下列各题：

x1

(1) 设x1,x2,x3是方程x

3

x2x1x3

x3x2. x1

px q 0的3个根，计算行列式x3

x2

3

解：因为x1,x2,x3是方程x

px q 0的3个根，即(x x1)(x x2)(x x3) 0，那么x1 x2 x3 0，p x1x2 x2x3 x1x3，q x1x2x3.

x1

x2x1x3

x3x2

x3x2

x3 x1 x2

第一列

x2 x3 x1x1

都加到

x1 x2 x3x2x1

x3

x3x2x1

=

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