2005级《高等数学》(Ⅰ)期末试题_A_答案与评分标准

中国石油大学(北京)2005／2006学年第一学期

《高等数学》(Ⅰ) 期末试卷(A)参考答案

一、填空题（本题共5小题，每小题3分，满分15分） １.

ddx

x0

2

sintdt

7

2

2xsinx

4

． ．

x

2. 曲线y (x 1)3的拐点是3. 设f(x) e x,则f

(n)

(1,0)

n

(x) ( 1)e

(n 1,2, )．

4. 设向量a 3,5, 2 ,b 2,1,4 ，若 a b与z轴垂直，则 与 应满足 2 .

5. 若

f(u)u

du F(u) C,则

f(x)x

dx 2F(x) C

．

二、选择题（本题共5小题，每小题4分，满分20分．在每小题所给出的四个选项中，只有一个 符合题目要求．）

1

cosx xsin, x1.设f(x) 2

x 1,

x 0

,则x 0是f(x)的x 0

D

．

A．可去间断点 Ｂ．跳跃间断点 Ｃ．振荡间断点 Ｄ．连续点

B

2. 设f(x) 2x 3x 2,则当x 0时,下列结论正确的是

A．f(x)与x是等价无穷小

．

Ｂ．f(x)与x同阶但非等价无穷小

Ｄ．f(x)是比x低阶的无穷小

Ｃ．f(x)是比x高阶的无穷小3.

1

dxx

x 1

2

C

．

2

A．不存在 Ｂ．0 Ｃ．

Ｄ．

4. 设f(x)具有二阶连续导数,且f (0) 0,limf (x) 1,则下列叙述正确的是 A ．

x 0

A．f(0)是f(x)的极大值 B. f(0))是f(x)的极小值 Ｃ．f(0)不是f(x)的极值 D. f(0)是f(x)的最小值 5. 由曲线r asin (a 0)所围成的图形的面积是

A

．

A．

4

2

a Ｂ．

2

2

a Ｃ． a Ｄ．4 a

22

三、计算下列各题（本题共4小题，每小题6分，满分24分） 1. lim cos

x

1 x 1x,

x

2

．

1

lim

lncostt

2

(

00

型)

【解】令t

lim

原式 lim cost

t 0

t

2

e

t 0

sint2t cost

e

2.

t 0

e

12

．

arcsin x

x

dx．

【解】原式 2 arcsin

2 xarcsin

x

x d x

x

1 x

d

2

xarcsinx

dx 2

x

x xarcsinx C

3. 设函数y y(x)由参数方程

1

2

x ln(1 t2)dy

． 所确定,求 2

dx y t arctant

11 t

2t

22

【解】

dydx

d(t arctant)d[ln(1 t)]

2

t2

1 t

dydx

22

dy d dx dx12t

d(

t

1

dxdt

dt

)

12

2

12

12t1 t

2

1 t4t

2

．

1 t

4．设连续函数f(x)满足f(x) f( x) sin【解】方程两端同乘sin

2

2

x,求积分I

2

2

f(x)sin

6

xdx．

6

x并从

f( x)sin

2

6

积分到

2

,得:

2

f(x)sin

6

xdx

2

2

xdx

2

2

2

sin

8

xdx 2I8 (*)

又

2

2

f( x)sin

6

xdx

令t x

f(t)sin( t)( dt)

6

2

f(x)sin

6

xdx代入(*)式得:

I

1

2

2

2

f(x)sin

6

xdx

12

2I8

n

12

2

78

56

34

12

2

35 256

．

四、（本题满分9分） 设有方程x nx 1 0,其中n为正整数．证明此方程存在惟一正实根xn，且xn满足：0 xn

n

1n

．

n

【证】令Fn(x) x

由零点存在定理

1 1

nx 1, Fn(0) 1 0,Fn()

n n

0,

, xn (0,1)有Fn(xn) 0；

n

n 1

由于 x 0,Fn (x) nx n 0， Fn(x) ，

即存在惟一正实数xn使得 xn nxn 1 0；

五、（本题满分8分） 设曲线f(x) xn在点(1,1)处的切线与x轴的交点为(xn,0)，求lim(xn)n．

n

n

【解】 f (1) nxn 1

x 1

n, f(x)在点(1,1)处的切线方程为:

y n(x 1) 1 (*)

由题意知切线(*)与x轴的交点为(xn,0)，即0 n(xn 1) 1 xn 1 从而可得：lim(xn)n lim(1

n

n

1n

1n

n

)＝e

1

．

六、（本题满分8分）设直线y ax(0 a 1)与抛物线y x2所围成的图形为D1，它们与直线

x 1所围成的图形为D2，若D1、D2同时绕x轴旋转一周得到一旋转体，试确定a的值，使该旋转体的体积最小．

【解】∵ D1:

a

0 x a x

22

y ax

2

2

， D2:

a

a x 1 ax y x

2

2

V1

(ax)

(x)

dx a

x x

24

dx

V2

(x

1a

2

) (ax)dx

22

x

a

1

4

ax

22

dx

1

4

a

∴ V(a) V1 V2

5

2x3x

a3 5

0

a

a

a

2

x x

1

24

dx x

ax

22

dx

3

4 5 2 x5 2xa a a 5 15353 a

由

dV(a)

da

4 3

a

4

2 3

a 0，得：a

令

1

2

．

又由

dV(a)

da

2

x

1

2

2

16 12 6 16 32

a 0

13 x 3233 33

2

可见： 当a

1

2

时， 该旋转体的体积最小．

x 2y 4z 5x z 0

及直线 l2:

3 25 x z 0

七、（本题满分8分） 求过点P( 1,1,2)且与直线l1: 平行的平面方程．

【解】设所求平面的法线向量为n，直线li的方向向量为

i

s1 1

1

j00

k

1 (0,2,0), 1

i

取n (0,1,0) (3, 2,5) 0

3

j1 2

k

0 (5,0, 3), 5

:si(i 1,2)，其中

s2 (3, 2,5),

故所求平面方程为：5(x 1) 3(z 2) 0,即5x 3z 11 0. 八、（本题满分8 …… 此处隐藏：1098字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……