高中数学专题训练(教师版)—2.6二次函数与幂函数

高中数学专题训练（教师版）—二次函数与幂函数

一、选择题

1．“a＝1”是“函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的( )

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案 A

解析 本题为二次函数的单调性问题，取决于对称轴的位置，若函数f(x)＝x2－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数，则有对称轴x＝a≤1，故“a＝1”是“函

2

数f(x)＝x－2ax＋3在区间[1，＋∞)上为增函数”的充分不必要条件．

2．一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋bx＋c在同一坐标系中的图象大致是(

)

答案 C

解析 若a>0，A不符合条件，若a<0，D不符合条件，若b>0，对B，∴

b

对称轴－a<0，不符合，∴选C.

3．函数y＝xα(x≥1)的图象如图所示，α满足条件(

)

A．α<－1 B．－1<α<0 C．0<α<1 D．α>1 答案 C

1

解析 类比函数y＝x2

4．若函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(4)＝f(1)，那么( ) A．f(2)>f(3) B．f(3)>f(2) C．f(3)＝f(2)

D．f(3)与f(2)的大小关系不确定 答案 C

解析 ∵f(4)＝f(1)

5

∴对称轴为2，∴f(2)＝f(3)．

5．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是( )

A．[1，＋∞) B．[0,2] C．[1,2] D．(－∞，2] 答案 C

解析 由函数的单调性和对称轴知，1≤m≤2，选

C.

6．(2010·安徽卷)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(

)

答案 D

b

解析 若a＞0，b＜0，c＜0，则对称轴x＝－2a＞0，函数f(x)的图象与y轴的交点(c,0)在x轴下方．故选D.

7．已知f(x)＝ax2＋2ax＋4(0<a<3)，若x1<x2，x1＋x2＝1－a，则( ) A．f(x1)>f(x2) B．f(x1)<f(x2) C．f(x1)＝f(x2)

D．f(x1)与f(x2)的大小不能确定 答案 B

x1＋x21－a1

解析 解法1：设A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))，∵22(－1，2，又对称轴x＝－1，∴AB中点在对称轴右侧．∴f(x1)<f(x2)，故选B.(本方法充分运用了二次函数的对称性及问题的特殊性：对称轴已知)．

2

解法2：作差f(x1)－f(x2)＝(ax21＋2ax1＋4)－(ax2＋2ax2＋4)＝a(x1－x2)(x1＋x2＋2)＝a(x1－x2)(3－a)

又0<a<3，∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，故选B. 二、填空题

8．已知y＝(cosx－a)2－1，当cosx＝－1时y取最大值，当cos x＝a时，y取最小值，则a的范围是________．

－a≤0

解析 由题意知

－1≤a≤1

∴0≤a≤1

9．抛物线y＝8x2－(m－1)x＋m－7的顶点在x轴上，则m＝________. 答案 9或25

m－1 2 m－1 2 解析 y＝8x－＋m－7－16 16

m－1 2 ＝0，∴m＝9或25. ∵顶点在x轴∴m－7－ 16

1

10．(2010·衡水调研)设函数f1(x)＝x2f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，则f1(f2(f3(2010)))＝________.

1

答案 2010

解析 f3(2010)＝20102 f2(20102)＝(20102)－1＝2010－2

11

f1(2010－2)＝(2010－2)2＝2010－1＝2010.

11．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a，b，c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值(填“大”或“小”)，且该值为________．

答案 大 －3

解析 ∵f(0)＝c＝－4，a，b，c成等比，∴b2＝a·c，∴a<0

2b

∴f(x)有最大值，最大值为c－4a3.

1－α

12．已知幂函数f(x)＝x3(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数a＝________.

答案 3

13．方程x2－mx＋1＝0的两根为α，β，且α>0,1<β<2，则实数m的取值范围是________．

5

答案 2<m<2

解析 令f(x)＝x2－mx＋1

f 1 <05

由题意知 2<m<2 f 2 >0

三、解答题

27

14．已知函数f(x)＝xxm，且f(4)＝－2(1)求m的值；

(2)判断f(x)在(0，＋∞)上的单调性，并给予证明． 答案 (1)m＝1 (2)递减

7

解析 (1)∵f(4)＝－2， 27

∴－4m＝－∴m＝1. 42

2

(2)f(x)＝xx在(0，＋∞)上单调递减，证明如下： 任取0<x1<x2，则

22

f(x1)－f(x2)＝(x－x1)－(x－x2)

122

＝(x2－x1xx1)．

12

2

∵0<x1<x2，∴x2－x1>0，xx＋1>0.

12

∴f(x1)－f(x2)>0，∴f(x1)>f(x2)，

2

即f(x)＝x－x在(0，＋∞)上单调递减． 15．(2011·山东省实验中学)已知对于任意实数x，二次函数f(x)＝x2－4ax＋2a＋12(a∈R)的值都是非负的，求函数g(a)＝(a＋1)(|a－1|＋2)的值域．

9

答案 [－4，9]

解 由条件知Δ≤0，即(－4a)2－4(2a＋12)≤0，

3

∴－2≤a≤2.

3

①当－2≤a<1时，

g(a)＝(a＋1)(－a＋3)

＝－a2＋2a＋3＝－(a－1)2＋4， ∴由二次函数图象可知， 9

－4≤g(a)<4.

②当1≤a≤2时，g(a)＝(a＋1)2， ∴当a＝1时，g(a)min＝4； 当a＝2时，g(a)max＝9； ∴4≤g(a)≤9.

9

综上所述，g(a)的值域为[－4，9]．

1

1．若函数f(x)＝log2(x2－6x＋5)在(a，＋∞)上是减函数，则a的取值范围是( )

A．(－∞，1] B．(3，＋∞) C．(－∞，3) D．[5，＋∞) 答案 D

解析 f(x)的减区间为(5，＋∞)，若f(x)在(a，＋∞)上是减函数，则a≥5，故选D.

2．设b>0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为下列图象之一，则a的值为( )

A．1 B．－1 －1－5－15C. 22答案 B

解析 ∵b>0，∴不是前两个图形，

b

从后两个图形看－2a>0，∴a<0. 故应是第3个图形．

∵过原点，∴a2－1＝0.结合a<0.∴a＝－1.

3.

如图所示，是二次函数y＝ax＋bx＋c的图象，则|OA|·|OB|等于( ) ccA.a B．－acC．a D．无法确定 答案 B

cc

解析 ∵|OA|·|OB|＝|OA·OB|＝|x1x2|＝|a＝－a(∵a<0，c>0)．

4．已知函数f(x)＝x2－2x＋2的定义域和值域均为[1，b]，则b＝( ) A．3 B．2或3 C．2 D．1或2 答案 C

解析 函数在[1，＋∞)上单增

∴b＝b2－2b＋2解之得：b＝2或1(舍)． 5．函数y＝－x2－2ax(0≤x≤1)的最大值是a2，则实数a的取值范围是( ) A．0≤a≤1 B．0≤a≤2

C．－2≤a≤0 D．－1≤a≤0 答案 D

解析 f(x)＝－x2－2ax＝－(x＋a)2＋a2 若f(x) 在[0,1]上最大值是a2，

则0≤－a≤1，即－1≤a≤0，故选

D.

2

1．若二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，f(0)＝1，则f(x)＝________. 答案 x2－x＋1

解析 设f(x)＝ax2＋bx＋c，∵f(0)＝1，∴c＝1，f(x＋1)－f(x)＝2ax＋a＋b＝2x

∴a＝1，b＝－1. ∴f(x)＝x2－x＋1.

2．若函数f(x)＝(a－1)x2＋(a2－1)x＋1是偶函数，则在区间[0，＋∞)上f(x)是( )

A．减函数 B．增函数 C．常函数

D．可能是减函数，也可能是常函数

答案 D

解析 函数f(x)是偶函数，∴a2－1＝0 当a＝1时，f(x)为常函数

当a＝－1时，f(x)＝ …… 此处隐藏：2358字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……