高等数学上知识点汇总

高数总结

高等数学上

目录：第一章P1-P3 第二章P3-P6 第三章P6-P15 第四章P15-P20 第五章P20-P24 第六章P25-P27

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第一章 函数（基本概念）

1、 集合：具有某种共同属性的事物的总体，组成这个集合的事物称为该集合的元素。 2、 集合的表示方法：列举法、描述法（常用）。

3、 集合的运算：并集A∪B={x∣x A或x B}、交集A∩B={x∣x A且x B}、差集A-B={x∣x A且x

B}。

4、 常见数集：N-自然数集、Z-整数集、Q-有理数集、R-实数集、

C-复数集。

A∪B

5、 邻域：δ>0，∣x-a∣<δ,表示点a的去心δ邻域。

一、 函数的概念

1、 映射：X、Y是非空集合，若存在法则f，使对于X中的

B

A

A∩B

每一个元素x，在Y

中有唯一的元素y与之对应，则称f为从X到Y 的映射，即y=f(x)。映射三要素：定义域、值域、对应法则。

2、 几类重要映射：满射，单射，一一映射。

3、 函数的概念：若映射中的对应法则为数数对应，则f为从X到R的函数(y R)。 涉及题目：判断函数是否为同一函数。

4、 函数的表示方法：解析法（常用），列表法、图形法。 5、 几个特殊的分段函数：符号函数y=max{F(x),G(x)},y=min{F(x),G(x)}。

6、 函数的几点特性：①有界性， ②单调性， ③奇偶性：奇函数f(x)= f(-x) 偶函数

y=sgnx、取整函数

y=[x]、最值函数

f(x)=f(-x)， ④周期性。

二、 初等函数

1、 反函数：若函数f:X→f(x)为单射，则存在新映射f中f(x)=y，称此映射f

1

1

：f(x)→X,使任意y f(x)，f（y）=x，其

1

为f的反函数。

2、 反函数的性质：①y=f(x)的单调性与其反函数的单调性一致。② y=f(x)与其反函数的图形关于直线y=x对称。

3、 五类基本初等函数：幂函数y=x(u0),指数函数y=a（a>0,a≠0）,对数函数y log

a

三角函数，反三角函数。

u

x

x（a>0,a≠1）,

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4、 常见的三角函数公式:

平方公式

sin2x cos2x 1 1 tan2x sec2x 1 cot2x csc2x 降幂公式

cos2x

1 cos2x

21 cos2x

2

sin2x

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5、 复合函数：设①y f(u),u

Xf;② u g(x),x Xg,则y f[g(x)],x Xg称为由

①②确定的复合函数。

6、 初等函数：由常数和基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合所得的函数。（一般来说：分段函数、隐函数是非初等函数，不能从参数方程中消去t解出y的参数方程也是非初等函数。） 7、 双曲函数与反双曲函数：双曲正弦shx

ex e x

2

,双曲余弦chx

ex e x

2

，双曲正切

ex e xex e x

，双曲余切cthx x。相关等式见书(p23).。 thx x

x x

e ee e

第二章、导数与极限

一、导数的定义

1、导数的定义：设函数y

f(x)在点x0的某邻域内有定义，若lim

x x0

f(x) f(x0) y

lim存在，

x x xx x0

则称函数y

f(x)在点x0处可导，称此极限为y f(x)在点x0处的导数。（导数是差商的极限，反

映函数的变化率）

二、数列的极限

1、有界数列与无界数列：若存在常数M>0，对任意的正整数n都有∣x∣≤M，则称数列{xn}为有界数列，

否则为无界数列。

2、数列的单调性：若对任意正整数n都有XN≤XN+1则称数列{Xn}为单调增加数列，若对任意正整数n都有XN≥XN+1则称数列{Xn}为单调减少数列。

3、数列极限的定义：若对任意给定的正数ε，存在正整数N，使当n>N时，必有∣an-L∣<ε,则称L是数列{an}的极限。也称数列收敛，否则称数列发散。

4、收敛数列的性质：极限唯一性，有界性，保号性（L>0,无穷远处的an也大于0）。 5、子数列的三个等价命题：

①数列{an}收敛于L。 ②数列{an}的任一子列{ank}都收敛于L。 ③子列{a2n}和{a2n-1}都收敛于L。

三、函数的极限

1、函数极限的定义：设函数f(x)在

x0的某个去心邻域内有点远，A是一个常数，若

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0, 0,当0 x x0 时，有(x) A ，则称当x x0时，f(x)以A为

极限，记作lim

x x0

f(x) A。

x x0

x x0

2、单侧极限：左极限：f(x-0) lim f(x) A，右极限：f(x 0) lim f(x) A。 3、左右极限与极限的关系lim

x x0

f(x) limf(x)=limf(x)=A（题目类型：证明极限是否存在）

x x0

x x0

4、函数极限的性质：唯一性（如果极限lim

x x0

，局部有界性（若极限f(x)存在，那么极限值是唯一的）

x x0

，局部保序性（如果，，且A>B，则在x0的某个limf(x)存在，那么f(x)在x0的某个去心邻域内有界）

去心邻域内有f(x)>g(x)），局部保号性（如果lim函数f(x)在此邻域内与A保持同号）。

x x0

f(x) A且A>0，则在x0的某个去心邻域内使得

四、无穷大与无穷小

1、无穷小：若lim

x x0

f(x) 0则称函数f(x)是x x0时的无穷小。

2、无穷小的运算性质：①有限个无穷小的和是无穷小。 ②有界函数（常数，有限个无穷小）与无穷小的乘

积是无穷小。 3、无穷大：设函数y

f(x)在点x0的某邻域内有定义，如果对任意正数M，都存在正数δ>0，使当0<

x x0时的无穷大，记作limf(x) 。

x x0

∣x-x0∣<δ时必有∣f(x)∣>M称函数f(x)为（lim

x x0

f(x) 不表示f(x)的极限存在，仅仅表示一种趋势）

4、函数为无穷大则必定无界。

5、无穷大与无穷小的关系：在x的某趋限过程中，①若f(x)是无穷大，则

1

是无穷小。②若f(x)是

f（x）

无穷小，且f(x)不等于0，则

1

是无穷大。

f（x）

6、无穷大的运算性质：①有界量加无穷大还是无穷大。②无界量乘无穷大是无穷大。③有界量乘无穷大未必是无穷大。

五、极限的运算法则

1、极限的四则运算法则：设lim

x x0

f(x) A，limg(x) B，则

x x0

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①lim[f(x) g(x)] lim

x x0

x x0

f(x) limg(x) A B

x x0

x x0

②lim[f(x) g(x)] lim

x x0

x x0

f(x) limg(x) A B

limf(x)

f(x)xA x

③当B 0时，lim

x xg(x)limg(x)B

x x0

2、当a0 0，b0 0，m和n都是非负数时有

a0

当n=m b0

lim 0 当n>m x 当n<m 3、复合函数的极限法则：如果lim有g(x)

x x0

g(x) u，limf(u) A又存在某N(x0. )，对 x N(x0. ),

u x0

u0，则有limf(g(x)) limf(u) A。

x x0

u x0

4、极限存在的两个准则：夹逼准则，单调有界准则。 5、两个重要极限：lim

sinx

1

x 0

x

1，lim(1 x)x e或lim(1

x 0

x

1

x

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