第二类曲面积分的计算方法

第14卷第4期高等数学研究

Vol.14,No.4第二类曲面积分的计算方法

景慧丽,张辉

(第二炮兵工程学院基础部,陕西西安710025)

摘

要

针对第二类曲面积分的计算进行探讨,指出计算时可以把曲面方程代入到被积函数中,且可以利用

轮换对称性及奇偶性来简化计算,并提出可以利用公式法、高斯公式、两类曲面积分之间的关系及合一投影法四种方法来计算第二类曲面积分.

关键词

第二类曲面积分;计算;方法

文献标识码 A

文章编号 1008-1399(2011)04-0087-05

中图分类号 O172

在高等数学课程中,有关曲面积分,尤其是第二类曲面积分(即对坐标的曲面积分)的计算是一个重点也是一个难点,许多学员在学习这方面知识的过程时,往往感到束手无策、无从下手.其实,对第二类曲面积分的计算可以从以下几个方面入手.

1.2 可以利用轮换对性简化计算

在此种情形下,被积函数和积分曲面都应具有轮换对称性.

例2

[1]

计算曲面积分

1 计算时须注意的三点

不管用什么方法计算第二类曲面积分,首先应根据第二类曲面积分的定义及其所具有的性质来化难为易、化繁为简.因此,在计算时须注意以下三点.1.1 曲面方程可以代入被积函数中

这点性质是两类曲面积分和两类曲线积分(即可以把积分曲线代入被积函数中)所独有的,这和重积分不同.根据曲面积分的定义是很容易得到此结论的,这里不再赘述.利用这个性质可以大大简化曲面积分的计算.

例1 计算曲面积分

I=

I=

yzdydz+zxdzdx+xydxdy,

其中 是平面

x+y+z=1

被三坐标面截下部分的上侧.

分析 这里将变量x,y,z的位置轮换变化,被积表达式及积分曲面都不变化,即被积函数和积分曲面都具有轮换对称性,所以

yzdydz= zxdzdz= xydxdy,

因此

2,

x+y+zx2+y2+z2=R2

xydxdy,

所以只须再选择合适的方法计算xydxdy即可.

I=3

其中 是球面的下半球面的上侧.

分析 不论用什么方法求解,我们首先可以把积分曲面 代入被积函数中,即此时曲面积分变为

I=

1.3 用奇偶函数在对称曲面上的积分性质计算

类似于定积分、重积分和曲线积分,也可以利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来简化曲面积分的运算.先看下面的例题.

例3 设 是球面

x+y+z=R

2

2

2

2

,

R2

2

的外侧.有的学生认为:由对称性知

然后再选择合适的计算方法即可.

收稿日期:2010-07-23;修改日期:2011-02-07.

作者简介:景慧丽(1983-),女,河南平顶山人,硕士,助教,从事最优

化理论研究.Email:jinghuili1214@http://doc.guandang.net.

张辉(1982-),男,河南新乡人,硕士,助教,从事生物数学与计算机仿真研究.Email:zhanghui4958@http://doc.guandang.net.

zdS=

0,(1)

故同样也有

zdxdy=

0.(2)

这种认识正确吗?

分析 这种认识显然有问题.曲面积分(1)是

88

高等数学研究2011年7月

对的,这是因为曲面 关于xOy面对称,而被积函数z关于z是奇函数.但是曲面积分(2)是不对的,实际上如果利用高斯公式[2],很容易解得

积分所用的解题技巧,并非每个曲面积分都具有这种特殊性质.

所以,在计算第二类曲面积分时,如果利用对称性有困难,不如先把它转化为二重积分,再化为定积分来计算,并在转化过程中考虑利用对称性,这是基本方法.因此,不提倡学员利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来解第二类曲面积分,更不提倡学员死记上述公式,应是理解性的应用.

其中 是

zdxdy=

2

dxdydz= R3,

3

2

2

{(x,y,z)|x+y+z

R}.

2

那么,上述对对称性的利用为什么是错的呢?实际上,第一类曲面积分(即对面积的曲面积分)与曲面(积分域)的侧(方向)无关,故考虑对称性比较容易.但对第二类曲面积分(即对坐标的曲面积分)与曲面的侧(方向)有关,所以在考虑它的对称性时,还要考虑曲面的侧,即要顾及被积函数与曲面.因此,对于第二类曲面积分的对称性有下面的公式.

若曲面 关于yOz坐标面对称, 1表示其中满足x 0的部分,且 和 1所取的侧一致,则

2 计算方法

第二类曲面积分的计算通常也是化为二重积分来计算的,根据其自身的特点,对于第二类曲面积分的计算学员把握住下面四种方法即可.2.1 直接利用公式来计算

直接利用公式来计算就是通过投影,把第二类曲面积分化为二重积分来计算.可以直接利用下列诸公式.

若曲面 是由方程z=z(x,y)所给出的,其在xOy坐标面上的投影区域为Dxy,函数z=z(x,y)在Dxy上具有一阶连续偏导数,被积函数R(x,y,z)在 上连续.则

P(x,y,z)dydz=

2

P(x,y,z)dydz,P(-x,y,z)=-P(x,y,z),

1

0,P(-x,y,z)=P(x,y,z),

2

1

Q(x,y,z)dzdx=

P(x,y,z)dzdx,Q(-x,y,z)=Q(x,y,z),

Q(-x,y,z)=-Q(x,y,z),

0,

R(x,y,z)dxdy=

R[x,y,z(x,y)]dxdy,

D

xy

2

1

R(x,y,z)dxdy=

当 取上侧(即曲面 的法向量与z轴正向的夹角为锐角)时,公式右端取 + 号;当 取下侧(即曲面 的法向量与z轴正向的夹角为钝角)时,公式右端取 - 号.

这表明,计算曲面积分

R(x,y,z)dxdy,R(-x,y,z)=R(x,y,z),

R(-x,y,z)=-R(x,y,z),

0,

若积分曲面 关于xOz(或xOy)坐标面对称,被积函数P,Q,R关于y(或z)有奇偶性,则第二类曲面积分具有相似的结论.

利用上面的结论,很容易得到

R(x,y,z)dxdy时,只

要把其中的变量z换为表示 的函数z=z(x,y),然后在 在xOy坐标面上的投影区域Dxy上计算二重积分,并考虑到符号的选取即可.这一过程可总结成口诀: 一代二投三定向 .类似地,有下述公式.

若曲面 是由方程x=x(y,z)所给出的,其在yOz坐标面上的投影区域为Dyz,函数x=x(y,z)在Dyz上具有一阶连续偏导数,被积函数P(x,y,z)在 上连续.则

zdxdy=2

zdxdy,

1

其中 1是上半球面

{(x,y,z)|x2+y2+z2=R2,z 0}的外侧.

注1 在利用奇偶函数在对称曲面上的积分性质来计算第二类曲面积分时,两个条件即被积函数具有奇偶性及积分曲面具有对称性必须同时成立,如果只有一个成立,则不能用.

注2 利用对称性时一定要顾及被积函数和曲面的侧.

注3 利用对称性只是对具有这种特殊性质的

P(x,y,z)dydz=

P[x(y,z),y,z)]dydz,

D

yz

当 取前侧(即曲面 的法向量与x轴正向的夹角为锐角)时,公式右端取 + 号;当 取后侧(即曲面 的法向量与x轴正向的夹角为钝角)时,公式右端

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取 - 号.

若曲面 是由方程y=y(z,x)所给出的,其在xOz坐标面上的投影区域为Dxz,函数y=y(z,x)在Dxz上具有一阶连续偏导数,被积函数Q(x,y,z)在 …… 此处隐藏：6421字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……