高中高一数学必修1各章知识点总结(5)

高1各章知识点总结（5）

第二章 基本初等函数 （1）

一、指数函数

（一）指数与指数幂的运算

1.整数指数幂

（1）正整数指数幂：an a a a（共n个a的连乘积，其中n N*）.

（2）零指数幂：a0 1，其中a 0，即0的0次无意义.

1，这里a 0,n N*. an

2．根式的概念：一般地，如果xn a，那么x叫做a的一个n次方根，其中n 1，且n N*．

当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号a表示．式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．

当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a的正的n次方根用符号a表示，负的n次方根用符号 a表示．正的n次方根与负的n（3）负整数指数幂：a n 次方根可以合并成 a (a 0)．

注意：

①负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0. n②a)n a；当n是奇数时，an a，当n是偶数时，a a .

3．分数指数幂

（1）正分数指数幂的意义，规定： a

（2）负分数指数幂的意义，规定： amnm

n am，其中m,n N*,且n 2. 1

m

n ，其中m,n N*,且n 2. a

注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 .

指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂．再进一步推广到无理数指数幂后，就形成了实数指数幂运算性质也扩大到实数指数幂.

4．实数指数幂的运算性质：

（1）ax y a a；（2）axyx yaaxax

xyxy y；（3）(a) a；（4）() x. bbax

（二）指数函数及其性质

1、指数函数的概念：一般地，函数y ax(a 0,a 1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．（知道为什么吗？）

2、指数函数的图象和性质：

（1）图像：

1

（2）性质：

代数性质：

（0， ）①函数的定义域为R；②值域为.

几何性质：

①过定点情况：函数图象恒过定点（0，1）；

②奇偶性：图象关于原点和y轴都不对称，所以是非奇非偶函数；

③单调性：a 1时，函数在R上递增；0 a 1时，函数在R上递减；

④凹凸性：指数函数在R上是凹函数；

⑤周期性：无周期性，非周期函数.

从图象上看，a 1时，在第二象限内各点的纵坐标都小于1，在第一象限内各点的纵坐标都大于1，图象自左向右逐渐上升，图象上升趋势是越来越陡，即函数值开始增长较慢，到了某一值后增长速度极快；0 a 1时则正好相反.

注意：结合图象还可以看出：

①在[m,n]上，函数的值域是[am,an]（a 1时）或[an,am]（0 a 1时）； ②若x 0，则ax 1 ；ax取遍所有正数，当且仅当x取遍所有实数；

③对于指数函数f(x) ax(a 0,a 1)，总有f(1) a；

④对于指数函数a，总有a a 2axxyx y2(x y).

(待续)