6.6 空间直线及其方程

第六章

第六节空间直线及其方程( Space Straight Line and Its Equation)

一、空间直线方程的一般方程二、空间直线方程的对称式方程和参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、平面束六、小结与思考练习2009年7月3日星期五 1目录上页下页返回

一、空间直线方程的一般方程(General Equation of a Space Straight Line)

直线可视为两平面交线，因此其一般式方程

A1 x+ B 1 y+ C 1 z+ D 1= 0A2 x+ B2 y+ C2 z+ D2= 0

z(不唯一)

Π1

L

x2009年7月3日星期五 2

o目录

Π2

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二、空间直线方程的对称式方程和参数方程1.对称式方程(点向式方程)(Symmetric Expression)

已知直线上一点 M 0 ( x0, y0, z 0 )和它的方向向量 s= (m, n, p ),设直线上的动点为 M ( x, y, z ) s M 0 M// s则故有

x x0 y y 0 z z 0== m p n

M ( x, y, z )

M 0 ( x0, y 0, z 0 )

此式称为直线的对称式方程(也称为点向式方程)说明:某些分母为零时,其分子也理解为零. x= x0例如,当 m= n= 0, p≠ 0时,直线方程为 y= y02009年7月3日星期五 3目录上页下页返回

3.参数式方程设

(Parametric Form )

x x0 y y0 z z0=t== m n p

得参数式方程:

x= x0+ m t y= y0+ n t z= z0+ p t

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例1用对称式及参数式表示直线 x+ y+ z+1= 0 (补充题) 2 x y+ 3z+ 4= 0解:先在直线上找一点. y+ z= 2,得 y= 0, z= 2令 x= 1,解方程组 y 3z= 6

故 (1, 0, 2 )是直线上一点 .再求直线的方向向量 s .交已知直线的两平面的法向量为 n1= (1, 1, 1), n2= (2, 1, 3)

∵ s⊥ n1, s⊥ n22009年7月3日星期五

∴ s= n1× n25目录上页下页返回

i j k s= n1× n2= 1 1 1 2 1 3

= (4, 1, 3)

x 1 y z+ 2=t==故所给直线的对称式方程为 4 1 3 x= 1+ 4t 参数式方程为 y= t z= 2 3 t 解题思路:先找直线上一点;再找直线的方向向量. (自学课本例1)2009年7月3日星期五 6目录上页下页返回

例2

求与两平面x-4y= 3和2x-y-5z= 1的交线平

行且过点(-3, 2, 5)的直线的方程.解：因为所求在直线与两平面的交线平行，也就是直线的方向向量s一定同时与两平面的法线向量n1、n2垂直，所以可以取 i j k s= n1× n2= 1 0 4= (4i+ 3 j+ k ) 2 1 5因此所求直线的方程为

x+3 y 2 z 5== 4 3 12009年7月3日星期五 7目录上页下页返回

x 2 y 3 z 4==与平面2x+y+z-6=0的交点.例3求直线 1 1 2

解：所给直线的参数方程为代入平面方程中，得

(由课本例3改编)

x= 2+ t, y=3+t, z=4+2t, 2(2+t)+ (3+t)+ (4+2t)-6=0.解上列方程，得t=-1.把求得的t值代

入直线的参数方程中，即得所求交点的坐标为 x=1, y=2, z=2.

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三、两直线的夹角(The Angle between Two Straight Lines)

两直线的夹角指其方向向量间的夹角(通常取锐角)设直线 L1, L2的方向向量分别为 L1 s1 s1= (m1, n1, p1 ), s2= (m2, n2, p2 ) L2 则两直线夹角 满足 s2

s1 s2 cos = s1 s2=2009年7月3日星期五

m1m2+ n1n2+ p1 p2m1+ n1+ p19

2

2

2

m2+ n2+ p2目录上页

2

2

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特别地有:

(1) L1⊥ L2

s1⊥ s2 m1m2+ n1n2+ p1 p2= 0

(2) L1// L2

s1// s2 m1 n1 p1== m2 n2 p2

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例4(由课本例4改编)求以下两直线的夹角 x 1 y z+ 3 x+ y+ 2= 0 L1:== L2: 1 4 1 x+ 2z= 0解:直线 L1的方向向量为 s1= (1, 4, 1)

i j k直线 L2的方向向量为 s2= 1 1 0= (2, 2, 1) 1 0 2二直线夹角 的余弦为cos =从而

1× 2+ ( 4)× ( 2)+ 1× ( 1)12+ ( 4) 2+ 12

=

π

2+ ( 2)+ ( 1)

2

2

2

2= 2

411目录上页下页返回

2009年7月3日星期五

四、直线与平面的夹角(The Angle between a Straight Lines and a Plane)

当直线与平面不垂直时,直线和它在平面上的投影直线所夹锐角 称为直线与平面间的夹角;π当直线与平面垂直时,规定其夹角 2 .设直线 L的方向向量为 s= (m, n, p )平面Π的法向量为 n= ( A, B, C )则直线与平面夹角 满足

n s Π

L

︿= s n= sin = cos( s, n )s n2009年7月3日星期五 12

A m+ Bn+ C p m 2+ n 2+ p 2 A2+ B 2+ C 2目录上页下页返回

特别有: (1) L⊥Π

s// n

A B C== m n p

(2) L//Π直的直线方程.

s⊥n

Am+ B n+ C p= 0

例5求过点(1,-2, 4)且与平面2 x 3 y+ z 4= 0垂解:取已知平面的法向量 n= ( 2, 3, 1)为所求直线的方向向量.则直线的对称式方程为 x 1 y+ 2 z 4== 2 3 12009年7月3日星期五 13目录上页下页返回

n

五、平面束(Pencil of Planes)有时用平面束的方程解题比较方便，现在我们来介绍它的方程.设直线L由方程组 ( II )所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.我们建立三元一次方程：A1x+ B1 y+ C1z+ D1+λ( A2 x+ B2 y+ C2 z+ D2 )= 0

A1 x+ B1 y+ C1 z+ D1= 0, A2 x+ B2 y+ C2 z+ D2= 0,

(I)

( III )

其中λ为任意常数.因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成2009年7月3日星期五 14目录上页下页返回

比例，所以对于任何一个λ值，方程(III)的系数：A1+λ A2、B1+λ B2、C1+λC2不全为零，从而方程(III)表示

一个平面，若一点在直线L上，则点的坐标必同时满足方程(I)和(II),因而也满足方程(III),故方程(III)表示通过直线L的平面，且对于于不同的λ值，方

程(III)表示通过直线L的不同的平面.反之，通过直线L的任何平面(除平面(II)外)都包含在方程(III)所表示的一族平面内.通过定直线的所有平面的全体称为平面束，而方程(III)就作为通过直线L的平面束的方程(事实上，方程(III)表示缺少平面(II)的平面束).2009年7月3日星期五 15目录上页下页返回

例6方程.

x+ y z 1= 0,求直线 在平面x+y+z=0上的投影直线的 x y+ z+1= 0

x+ y z 1= 0,解：过直线 x y+ z+ 1= 0的平面束的方程为

(x+y- z-1)+λ (x-y+z+1)=0,即 (1+λ )x+(1-λ )y+(-1+λ)z+(-1+λ )=0, (*)

其中λ为待定常数.这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是 (1+λ ) 1+ (1 λ ) 1+ ( 1+λ ) 1= 0即λ+ 1= 0由此得λ=-1代入(*)式，得投影平面的方程为 2y-2z-2=0即 y-z-1=0 y z 1= 0,所以投影直线的方程为 x+ y+ z= 0.16目录上页下页返回

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