利用函数性质判断方程根的存在性

第四章§11.1

函数应用

函数与方程

利用函数性质判定方程解的存在

学习目标1.理解函数(结合二次函数)零点的概念，领会函数零点

与相应方程解的关系.2.掌握零点存在的判定条件.

问题探究一一元一次方程 x - 1 = 0 的解和相应的一次函数f ( x ) = x - 1 的图像与

y

x 轴交点坐标有何关系？ 1 2 x

o

-1

方程的根等于交点的 横坐标

问题探究二一元二次方程 x 2 - 3 x + 2 = 0 的解和相应的二次 函数 f ( x ) = x 2 - 3 x + 2 的图像与 系？

x

轴交点坐标有何关

y

o

1

2

x方程的根等于交点的 横坐标

函数的零点我们把函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为

这个函数的零点。等价关系： 方程 f ( x ) = 函数0

有实数解 的图像与 x 轴有交点 有零点

y = f (x )

函数 y =

f (x )

巩固练习11.利用函数图像判断下列方程有没有实数解，有几个： (1)-x2+3x+5=0; (2)2x(x-2)=-3;y

0

x

有,2个

没有

知识探究观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图像:y

.2

.

.-2 -1

1

.1-1 -2

0

2

3

4

x

-3-4

.

零点存在定理:若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)<0,则 在区间(a,b)内，函数y=f(x)至少有一个零点，即相应 的方程f(x)=0在区间(a,b) 内至少有一个实数解. 注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。

注：两个条件缺一不可(1)f(x1)f(x2)<0; (2)函数y=f(x)的图像在[x1,x2]上连续;不连续则不能 利用定理y-1 2

只能判断有解， 不能判断有几个

.a

0

.

b

x

(四)观察感知，例题学习

例1、知函数f (x) 0

f ( x) x x 62

,方程

在区间 0 , 4 内有没有实数解？

例2、已知函数 f ( x ) 3 x x 2 。问：方程f ( x ) 0 在区间 1, 0 内有没有实数解？为

什么？

例3、判定方程 ( x 2 )( x 5 ) 1有两个相 异的实数解，且一个大于5,一个小于2。

巩固练习21.如果二次函数y=x2+2x+(m+3)有两个不同的零点，则m的 取值范围是( B )

A. m>–2

B.m<–2

C.m>2

D.m<2

2.函数f(x)= – x3 – 3x+5的零点所在的大致区间为 (A) A.(1,2) C.(0,1) B.(–2,0) D.(0,0.5 )

1.在二次函数 y a x 2 b x c 中，ac<0,则其零点的个

数为(A.1

)B.2 C.3 D.不存在

2.已知函数f(x)的图像是连续不断的,有如下的x,f(x) 对应值表：

x 1 f(x) 23

2 9

3 –7

4 11

5 6 7 –5 –12 –26)个

那么函数在区间[1,6]上的零点至少有(A.5 B.4 C.3 D.2

3.若函数f(x)的图像在R上连续不断，且满足f(0)<0, f(1)>0,f(2)>0,则下列说法正确的是( )A.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上

一定没 有零点 B.f(x)在区间(0,1)上一定没有零点，在区间(1,2)上一定 有零点 C.f(x)在区间(0,1)上一定有零点，在区间(1,2)上可能有 零点 D.f(x)在区间(0,1)上可能有零点，在区间(1,2)上一定有 零点

1.函数零点的定义 2.等价关系 3.函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断