复变函数论第5章第3节

复变函数论 第二版 钟玉泉著 高等教育出版社

§3 解析函数在无穷远点的性质上一节讨论的是在有限孤立奇点邻域内解析 函数的性质，现在讨论解析函数在无穷远点邻域 函数的性质， 内的性质. 内的性质

定义 5.4 如果函数 f ( z ) 在无穷远点 z = ∞ 的去心∞ 内解析， 邻域 N {∞ } : R <| z |< +∞ 内解析，yR

则称点 ∞ 为 f ( z ) 的孤立奇点 .o x

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由于 z = ∞ 是函数 f (z ) 的孤立奇点 ， 为了研究 1 f ( z ) 在 z = ∞ 邻域的性质 ， 作变换 t = , 则 z 1 f ( z ) = f = (t ), t 规定此变换将: 规定此变换将z=∞

映射为 映射为

t = 0,平面， 扩充 t 平面，

扩充 z 平面

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R < z < +∞

映射为

1 0< t < , R

从而: 从而 在去心邻域 R < z < +∞ 内对函数 f (z ) 的研究

1 内对函数 (t ) 的研究 在去心邻域 0 < t < 的研究. R 1 内是解析的, 因为 (t ) 在去心邻域 0 < t < 内是解析的 R 从而有 的孤立奇点， 所以 t = 0 是 (t ) 的孤立奇点，

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定义 5.5 若 t = 0 为 ( t ) 的可去奇点 ( 解析点 ) 、 m 阶极点或本质奇点 , 那么就称 z = ∞ 是 f (z ) m 的可去奇点 ( 解析点 ) 、 阶极点或本质奇点 .

注：所谓 f ( z ) 在点 ∞ 解析 , 是指点 ∞ 为 f (z ) 的可去奇点 ， 且定义 f (∞ ) = lim f ( z ) .z →∞

1 设在去心邻域 0 <| t |< 内将 ( t ) 展成洛朗 R 级数 ：

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( t) =

c n c n = L+ n +L+ + c0 + c1t + Lcn t n + L, t t 1 令 t = , 则有 ， z 1 f (z) = ( t ) = z cn c1 = L + n + L + + c0 + c 1 z + L c n z n + L z z b n b 1 = L+ n +L+ + b0 + b1 z + Lbn z n + L, z z 其中 bn = c n ( n = 0,±1,L).

n= ∞

cn t n ∑

∞

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c n c n (t ) = L + n + L + + c0 + c1t + Lcn t n + L bn = c n ( n = 0,±1,L) t t

从而得到 f ( z ) 在无穷远点去心邻域 R <| z |< +∞

内的洛朗展式为f (z) = bn z n ∑∞

b n b 1 = L+ n + L+ + b0 + b1 z + Lbn z n + L z z 与 ( t ) 在 t = 0 洛朗展式的主要部分相 对应 ,称 bn z n = b1 z + b2 z 2 + L ∑n= 0 ∞

n= ∞

为 f ( z ) 在 z = ∞ 洛朗展式的主要部分 .

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例如 ， 设函数 f ( z ) 在 C ∞上只有奇点 z = 0 和 z = ∞ , 则 f ( z ) 在 0 <| z |< +∞ 内的洛朗展式为 a1 an 2 n f ( z ) = a0 + + L + n + L + b1 z + b2 z + Lbn z + L z z

这样就把函数 f ( z ) a0 分为两部分 , 在 z = 0 的去心邻域 0 <| z |< +∞ 内，前者是主要部分 ， 起主f 导作用 ， ( z ) 的奇异性质主要由前者 所决定 ; 但当

后者起主导作用 . | z | 逐渐变大 ， 趋向 + ∞ 时 ，

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f (z) = L +

b n b + L + 1 + b0 + b1 z + Lbn z n + L z zn

因此 , z = ∞ 作为 f ( z ) 的孤立奇点 ，也分成三类 ：利用洛朗级数的特点) 判别法 (利用洛朗级数的特点 利用洛朗级数的特点 如果 f (z ) 在 R < z < +∞内的洛朗级数中 内的洛朗级数中: 1)不含正幂项 不含正幂项; 不

含正幂项

z m 为最高正幂 2)含有有限多的正幂项，且 为最高正幂; 含有有限多的正幂项， 含有有限多的正幂项3)含有无穷多的正幂项 含有无穷多的正幂项, 含有无穷多的正幂项 那末 z = ∞ 是 f (z ) 的 1)可去奇点 ; 可去奇点 2) m 阶极点 阶极点; 3)本质奇点 . 本质奇点

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进一步地有

b n b 1 f (z) = L + n + L + + b0 + b1 z + Lbn z n + L z z

定理5.3′ 函数 f ( z ) 的孤立奇点 z = ∞ 为 可去奇点的充要条件是下列三条 中的任意一条成立 :

(1) f ( z ) 在 z = ∞ 的主要部分为零 ； ( 2) lim f ( z ) = b ( ≠ ∞ ) ;z →∞

( 3) f ( z ) 在 z = ∞ 的某去心邻域 N {∞ } 内有界 .

定理5.4′ 函数 f ( z ) 的孤立奇点 z = ∞ 为 m 阶极点的充要条件是下列三条 中的任意一条成立 :(1) f ( z ) 在 z = ∞ 的主要部分为

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f (z) = L +

b1 z + b2 z 2 + L + bm z m (bm ≠ 0) ;f (z) = zm µ(z) ,

b n b + L + 1 + b0 + b1 z + Lbn z n + L zn z

( 2) f ( z ) 在 z = ∞ 的去某心邻域 N {∞ } 内能表成

其中 µ ( z ) 在 z = ∞ 的邻域内解析 , 且 µ (∞ ) ≠ 0 ; 1 ( 3) g ( z ) = 以 z = ∞ 为 m 阶零点 (只要令 g (∞ ) = 0). f (z)

定理5.5′ 函数 f ( z ) 的孤立奇点 z = ∞ 为 极点的充要条件是 lim f ( z ) = ∞ .z→∞

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定理5.6′ 函数 f ( z ) 的孤立奇点 z = ∞ 为 本质奇点的充要条件是下列两条 中的任意一条成立 :

(1) f ( z ) 在 z = ∞ 的主要部分有无穷多正 幂项不等

于零 ;( 2) lim f ( z ) 不存在 (亦不为 ∞ ) .z →∞

z a 例 1 将多值解析函数 Ln 的各分支在无穷远点 z b 的去心邻域内展成洛朗 级数 . z a 解：由于无穷远点不是 Ln 的支点 ， z b

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故在点 ∞ 的去心邻域 max{| a |, | b |} <| z |< +∞ 内

能分出单值解析分支 , 且各支在此去心邻域内 均能展成洛朗级数 . 第 k 支的展式为 a 1 z a z ln = ln b z b 1 z

a b = ln 1 ln 1 + 2kπi z z

主值支

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从而所求洛朗展式为

zn ln(1 z ) = ∑ (| z |< 1) n =1 n

∞

z a b a ln = ln 1 ln 1 + 2kπi z b z z

1 a 1 b = 2kπi ∑ + ∑ n =1 n z n =1 n z ∞ n n

∞

n

∞

n

b a 1 = 2kπi + ∑ n ( k = 0,±1,±2,L). n z n =1

不含z 不含 的正幂项z 由此可见 ， = ∞ 为各单值解析分支的单 值性孤立 奇点 可去奇点 .

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例 2 在点 z = ∞ 的去心邻域内将函数 展成洛朗级数 .1 t 1 +2 t

f (z) = e

z z+2

1 1 1 解： 令 z = , 可得 : f = e = e 1+ 2 t , t t

从而 t = 0 是此函数的解析点 . 设此函数为 (t ) , 1 即 (t ) = f = t 1 2 由于 ′( t ) = e 1+ 2 t , (1 + 2t )21 e 1+ 2 t ,

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(t ) = e 8 4 ′′( t ) = 1 3 + 4 2 (1 + 2t ) (

1 + 2t …… 此处隐藏：2809字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……