湖南省长沙市长郡中学2016届高三上学期第四次月考数学(理)试题

长郡中学2016届高三上学期第四次月考

数学（理）试题

一、选择题（共60分）

1．若集合A=｛|2x y y =｝，B=｛x ｜2230x x -->，x R ∈｝，那么A （

B ）＝ A 、［一1，3］ B 、（0，3］

C 、（3，十∞）

D 、（0，一1）U （3，＋∞）

2．若复数z 满足3一i ＝（z ＋1）i ，则复数z 的共扼复数z 的虚部为

A 、3

B 、3i

C 、一3

D 、一3i

3．已知随机变量X 服从正态分布N （3，l ），且p （2≤X ≤4）＝0.6826，则 P （X ＞4）＝

A 、0.158 8

B 、0.1587

C 、0.1586

D 、0.1585

4．下列说法中，不正确的是

A 、已知a ，b ，m ∈R ，命题：“若22am bm <，则a ＜b ”为真命题

B 、命题：“2000,x R x x ?∈-＞0”的否定是：“2,0x R x x ?∈-≤”

C 、命题“p 或q ”为真命题，则命题P 和命题q 均为真命题

D 、“x ＞3”是“x ＞2”的充分不必要条件

5．若执行右边的程序框图，输出S 的值为4，则判断框中应填入的条件是

A 、k ＜14？

B 、k ＜15？

C 、k ＜16？

D 、k ＜17？

6．若26(1)x ax ++（a ＞0）的展开式中2x 的系数是66，则实数 a 的值为

A 、4

B 、3

C 、2

D 、l

7．如图，圆O 与x 轴的正半轴的交点为A ，点C 、B 在圆O 上，且点C 位于第一象限，点B 的坐标为（125,1313

-）， “∠AOC ＝α”，若｜BC ｜＝1

2sin cos 222ααα- 的值为

A 、－513

B 、513

C 、－1213

D 、1213

8．若f （x ）＝ln （3x e ＋1）＋a x 是偶函数，则a 的值等于

A 、52

B 、－52

C 、32

D 、－32

9、如图是函数f （x ）＝Asin （2x ＋?）（｜?｜2π

≤）图像的一部分，对不同的x 1，x 2

[,]

a b ∈，若f （x l ）＝f （x 2），有f （x l ＋x 2

A 、f （x ）在（一

5,1212

ππ）上是减函数 B 、f （x ）在（5,36

ππ）上是减函数 C 、f （x ）在（一5,1212

ππ）上是增函数 D 、f （x ）在（5,36ππ）上是增函数 10．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是正三角形，则几何体的外接球的表面积为

11．已知椭圆C 1：2211

x y +＝1，双曲线C 2：22

221(0,0)x y a b a b -=>>，若以C 1的长轴为直径的圆与C 2的一条渐近线交于A 、B 两点，且C 1与该渐近线的两交点将线段AB 三等分，则C 2的离心率为

A

B 、5 C

12．已知定义在R 上的函数f （x ），当x ∈［0,2］时，f （x ）＝8（l 一｜x 一1｜），且 对任意的实数

，都有f （x ）＝， 若g （x ）＝有且仅有三个零点，则a 的取值范围为

A 、［2，10］

B 、

C 、（2，10）

D 、

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）

13·已知直线y ＝－x ＋1是曲线f （x ）＝－1

x

e a 的切线，则实数a ＝ ． 14．设实数x ，y 满足621x y y x x ≤??≤-??≥?

，向量a ＝（2x 一y ，m ），b ＝（一1，1）若a ／／b ，

则实数m 的最小值为

15．过抛物线C ：22(y px p =＞0）的焦点且斜率为2的直线与C 交于A 、B 两 点，以AB 为直径的圆与C 的准线有公共点M ，若点M 的纵坐标为2，则

p 的值为

16．如图，在△ABC 中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，

且222,a b c bc a =++=S 为△ABC 的面积，圆O 是△ABC 的外接圆，P 是圆O 上一动点，当S

＋

cos B C 取得最大值时，PA PB 的最大值为

三、解答题（解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分12分）

某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与

该产品首次出现故障的时间有关某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均

为2年现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据

如下：

将频率视为概率，解答下列问题：

（I ）从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件

首次出现故障发生在保修期内的概率；

（II ）若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X l ，生产

一件乙品牌家电的利润为X 2，如果该厂预计今后这两种品牌家电销

量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济效

益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由

18．（本小题满分12分）

设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，561124,a a S +=＝143．数列{}n b 的前n

项和为n T ，满足112(1)(*)n a n T a n N λ-=--∈．

（I ）求数列{}n a 的通项公式及数列11n n a a +??????

的前n 项和； （II ）是否存在非零实数λ，使得数列{}n b 为等比数列？并说明理由．

19．（本小题满分12分）

如图所示，在四棱柱ABCD一A1B1C1D1中，底面AB CD是梯形，AD／／BC，侧面ABB1A1为菱形，∠DAB＝∠DAA1。

（I）求证：A.1B⊥AD；

（II）若AD＝AB＝2BC，∠A1AB＝600，点D在平面ABB1A1上的射影恰

为线段A1B的中点，求平面DCC1D1与平面ABB1A1所成锐二面角

的余弦值．

20．（本小题满分12分）

已知圆F l：（x十1）2十y2＝r2与F2：（x－1）2十y2＝（4一r）2（0＜r＜4）的

公共点的轨迹为曲线E，且曲线E与y轴的正半轴相交于点M

（I）求E的方程；

（II）若曲线E上相异两点A、B满足直线MA，MB的斜率之积为1

4

．

（i）判断直线AB是否恒过定点，如果过定点，求出定点的坐标；如果

不过定点，请说明理由；

（ii）求△ABM的面积的最大值．

21．（本小题满分12分）

已知函数f（x）＝ln（x＋l）十a x2一x（a∈R）．

（I）当

1

4

a=时，求函数y＝f（x）的单调区间；

（II）若对任意实数b∈（l，2），当x∈（一1，b）时，函数f（x）的最大值为f（b），求a的取值范围．

选做题（请考生在第22，23，24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的 第一题记分）

22．（本小题满分10分）［选修4一1：几何证明选讲】

如图，直线PQ 与相切于点A ，AB 是的弦，∠PAB 的平分线AC

交于点C ，连结CB ，并延长与直线PQ 相交于Q 点，

（I ）求证：QC ?BC ＝QC 2一QA 2；

（II ）若AQ ＝6，AC ＝5，求弦AB 的长．

23．（本小题满分10分）［选修4一4：坐标系与参数方程】

在平面直角坐标系xoy 中，直线l

的参数方程122(2

x t t y ?=+????=??为参数）

，以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为：4cos ρθ=。 （I ）将直线l 的参数方程化为极坐标方程；

（II ）求直线l 与曲线C 交点的极坐标(0,02)ρθπ≥≤≤．

24．（本小题满分10分）［选修4一5：不等式选讲】

已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，函数f （x ）＝｜x 十a ｜＋｜x 一b ｜＋c 的最小值为4． （I ）求a ＋b ＋c 的值；

（II …… 此处隐藏：1570字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……