概率论与数理统计(8.2 正态总体均值的假设检验)

《概率论与数理统计》*****大学理学院数学系

伯努利(Bernoulli) 柯尔莫哥洛夫(Kolmogorov)2013年5月12日星期日 1目录 上页 下页 返回

8.2 正态总体均值的 假设检验一、单个正态总体 N ( , ) 均值 的检验2

二、两个正态总体均值差的检验

2013年5月12日星期日

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一、单个正态总体 N ( , ) 均值 的检验2

1. 2 已知，关于 的检验( U 检验)在上一节中， 我们已经讨论过正态总体 N ( , 2 ) , 当 2 已知时，关于 的检验问题.在这些问题中，当原假 X 0 ~ N (0,1) ,我们是利用统计量 设 H 0 成立时， U / n X 0 U 来确定拒绝域的，这种检验法称为 U 检验. / n

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一、单个正态总体 N ( , ) 均值 的检验2

2. 未知，关于 的检验( T 检验) 2 , 2 都 未 知 ， 设 总 体 X ~ N ( , ) , 其 中 X1 , X 2 , , X n 是来自总体 X 的样本，在显著性水平为 2

时，检验假设

H0 : 0 ; H1 : 0 .X 0 ~ t (n 1) . 当原假设 H 0 成立时， T S/ n

X 0 拒绝域为 T t / 2 (n 1) . S/ n2013年5月12日星期日 4目录 上页 下页 返回

【例 2】 某切割机在正常工作时，切割每段金属棒的平 均长度为 10.5cm,标准差是 0.15cm.今从一批产品中 随机地抽取 15 段进行测量，其结果如下(单位：cm): 10.4,10.6,10.1,10.4,10.5,10.3,10.3,10.2, 10.9,10.6,10.8,10.5,10.7,10.2,10.7. 试问该切割机工作是否正常？( 0.05 ) 解 需检验假设： H0 : 0 10.5 ; H1 10.5 总 体 的 标 准 差 0.15 已 知 ， 所 以 选 择 统 计 量 X 0 x 0 U ,得拒绝域为 u u / 2 .将 n 15 , / n / n u / 2 1.96 , 0.15 , x 10.48 , 代 入 上 式 得

u 0.5164 1.96 ,所以接受原假设 H 0 ,即可认为该切割机工作正常.2013年5月12日星期日 5目录 上页 下页 返回

【例 3】 某批矿砂的 5 个样品中的镍含量(%)数据如下： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值总体服从正态分布，问在 0.01 下能否接受 假设：这批矿砂的镍含量的均值为 3.25. 解 由题可知，需检验假设： H0 : 0 3.25 ; H1 : 3.25 X 0 由于总体标准差未知，所以选择统计量 T ,得 S/ n X 0 拒绝域为 T t0.005 (4) . S/ n 代入数据得 t 0.3068 4.6041 ,所以接受原假设

H 0 ,即可认为该批矿砂的镍含量的均值仍为 3.25.2013年5月12日星期日 6目录 上页 下页 返回

【例 4】 按规定，100g 罐头番茄汁中的平均维生素 C 含量不得少于 21mg/g.现从工厂的产品中

抽取 17 个罐 头，其 100g 番茄汁中，测得维生素C含量(mg/g)记录 如下： 16,25,21,20,23,21,19,15,13,23,17, 20,29,18,22,16,22 设维生素含量服从正态分布 N ( , 2 ) , , 2 均未知， 问这批罐头是否符合要求(取显著性水平 0.05 ).

解 由题可知，需检验假设： H0 : 21 ; H1 : 21

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X 0 由于总体方差未知，所以选择统计量 T ,得拒 S/ n 绝域为 X 0 T t (n 1) . S/ n将 n 17 , t0.05 (16) 1.7459 , s 3.98 , x 20 ,代 入以上不等式得 t 1.004 t0.05 (16) 1.7459 , 所以接 受原假设 H 0 ,即可认为这批罐头是符合要求的.

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二、两个正态总体均值差的检验设 X1 , X 2 , , X n 是来自正态总体 N ( 1 , 12 ) 的样本，2 是来自正态总体 N ( 2 , 2 ) 的样本，且两个样 Y1 , Y2 , , Ym

本相互独立，X , Y 分别表示两个样本的样本均值， 12 , S2 S 2 表示它们的样本方差. 现在来求检验问题： H0 : 1 2 ; H1 : 1 2 ( 为已知常数，较常见的是 0 )的拒绝域.取显著性 水平为 .

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2 1. 当方差 12 , 2 为已知时，对均值差的检验

当原假设 H 0 为真时， X Y ~ N ( ,即U

12n

2 2

m

)作为检

(X Y )

12

n m n 验统计量，此时可以确定拒绝域为 (x y) u u / 2 .

2 2

~ N (0,1) .选择 U

(X Y )

12

2 2

m

12n

10

2 2

m目录 上页 下页 返回

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2 2. 当 12 2 2 为未知时，对均值差的检验

由 抽 样 分 布 理 论 ， 当 H0 为 真 时 ， 统 计 量(X Y ) T ~ t (n m 2) ,从而易知拒绝域为 1 1 S n m (x y) t t / 2 (n m 2) . 1 1 S n m 2 2 (n 1) S1 (m 1) S2 2 2 其中 S , S S . n m 22013年5月12日星期日 11目录 上页 下页 返回

【例 5】下表分别给出了文学家马克· 吐温(Mark Twain) 的 8 篇小品文和思诺特格拉斯(Snodgrass)的 10 篇小品 文中由 3 个字母组成的单字的比例.0. 225 0. 262 0. 217 0. 209 0. 205 0. 196 思诺特格拉斯 0. 220 0. 201 马克·吐温 0. 240 0. 210 0. 230 0. 202 0. 229 0. 207 0. 235 0. 224 0. 217 0. 223

设两组数据都来自正态总体，且两总体方差相等， 但参数均未知， 两样本相互独立.问两位作家所写的 小品文中包含由 3 个字母组成的单字的比例是否有显著 的差异(取 0.05 )? 解 由题可知，需检验假

设 H0 : 1 2 0 ; H1 : 1 2 0 .或表示为 H0 : 1 2 ; H1 : 1 2 .2013年5月12日星期日 12目录 上页 下页 返回

由于假设两总体方差相等但未知，所以可以选择检验统 计量为 (X Y ) T . 1 1 S n m(X Y ) 当 H 0 为真时， T ~ t (n m 2) ,从而可 1 1 S n m 以确定拒绝域为 x y t t / 2 (n m 2) . 1 1 S n m2013年5月12日星期日 13目录 上页 下页 返回

这里， n 8, m 10, t / 2 (16) t0.025 (16) 2.1199, 0, 由样本算得 x 0.2319 , y 0.2097 , s 0.0121 ,于是

1 1 0.0121 8 10 故拒绝 H 0 ,即可认为两位作家所写的小品文中包含由 3 个字母组成的单字的比例有显著差别.

t

0.2319 0.2097

8.1758 t0.025 (16) 2.1199 .

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内容小结

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习题A

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