构造函数法在高等数学中的应用

证明等式和不等式是高等数学中的常见问题,证明方法也多种多样。论文通过几个例子,从研究题目的条件和结论入手,巧妙构造适当的辅助函数进行解题,既能简化证明,又能培养学生的创新思维能力。

学报Vol.2No.6

2010 JOURNALOFNANYANGINSTITUTEOFTECHNOLOGYNov.2010年11月

第2卷第6期南阳理工学院

文章编号:1674-5132(2010)06-0107-03

构造函数法在高等数学中的应用

陈春华

(周口师范学院河南周口466001)

摘

要:证明等式和不等式是高等数学中的常见问题，证明方法也多种多样 论文通过几个例子，从研究题目的条

件和结论入手，巧妙构造适当的辅助函数进行解题，既能简化证明，又能培养学生的创新思维能力 关键词:构造函数法;不等式;变换;化归 :O13A中图分类号文献标识码:

2

1 - 因R有f()=0与

0引言=1

2 项系数同号，于是判别式 ，徐利志和郑毓信先生在总结数学思想的时候 2 1 1

= -4 02曾著文提出了关系(Relation)映射(Mapping)反演2

=1=1=1

(Inversion)方法，简称RMI方法 它是应用各种有 12 1， 从而有 效的映射变换手段实现解题任务的一种普遍的思想2

()

()

()(

=1

)

(

方法，这种方法体现了数学的变换和化归思想

运用这一思想，可根据问题的条件和结论，构造反映问题本质特征的函数关系使问题得以解决 此法称为构造函数法，其关键是构造适当的函数

构造函数法的内涵十分丰富，没有完全固定的模式可以套用，它是以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础的，是一种针对具体问题的特点而采取相应的解决办法的思维方法 在解题过程中，若按思维定势来探求解题途径比较困难时，我们不妨变换一下思维角度，从问题的结构和特点出发，构造一个与问题相关的辅助函数，实现问题的转化，从而使问题得到证明

本文通过几个例子，论述了用构造函数法解决问题的一般模式

［4］

［1-3］

=1

)

(

=1

)(

=1

)

又因

1

，2， ，为两两不同的正整数，所以

1

=1

1

，

代入上式整理得

1

2

=1

=1

2构造单调函数证明不等式

a，b］连续，证明例2设函数f与g在［

(Cauchy-Schwarz不等式)［5］:

(

ba

f()g()d

)

2

b2a

f()d ag2()d

b

证明:构造函数F()=［a，b］

1

构造二次函数证明不等式

例1

已知

1

［5］

(

a

f()g()d

)

2

-

a

f2()d a()d，

，2， ，为两两不同的正整数，

有

=1

因函数f与g在［a，b］连续，故函数F在［a，b］可导，且

F()=2f()g()

a

求证:对任何正整数

1

2

=1

f()g()d-2

f()d=

证明:构造二次函数f()=

(

2

=1

)

2

-2

(

1

=1

)

+

=1

1

，

2

f()

a

g2()d-g2()

a

a

2

［2f()g()f()g()-f()g2()-

作者简介:陈春华(1984-)，女，硕士生，主要研究方向:差分方程的振动性 E-:xcouyangrui@http://doc.guandang.net