自学考试线性代数笔记讲义新版[1]

自考高数线性代数笔记 第一章 行列式

1.1 行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。 例如

，且

；

例如

例如 =0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用

下面的

对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。 例如： （1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0 （2）

（3）

（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1 a为何值时，

[答疑编号10010101：针对该题提问]

解 因为

所以8-3a=0，时

例2 当x取何值时，

[答疑编号10010102：针对该题提问] 解：

解得 0<x<9

所以当0<x<9时，所给行列式大于0。 （二）n阶行列式

符号：

它由n行、n列元素（共个元素）组成，称之为n阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i称为行标，它表示这个数在第i行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j列上。所以在行列式的第i行和第j列的交叉位置上。为叙述方便起见，我们用(i,j)表示这个位置。n阶行列式

通常也简记作。

n阶行列式

也是一个数，至于它的值的计算方法需要引入下面两个概念。

例如，在三阶行列式

中，的余子式

表示将三阶行列式划去第1行和第1列后，余下的数按照相对位置组成的二阶行列式，所以

表示将三阶行列式划去第二行和第三列后，余下的数组成的

相似地，的余子式二阶行列式。所以

例1 若

，求：

（1）

[答疑编号10010103：针对该题提问] （2）

[答疑编号10010104：针对该题提问]

（3）

[答疑编号10010105：针对该题提问] （4）

[答疑编号10010106：针对该题提问]

解（1）

（2）

（3）

（4）

例2 求例1中的代数余子式 （1）

[答疑编号10010107：针对该题提问]

（2）

[答疑编号10010108：针对该题提问] （3）

[答疑编号10010109：针对该题提问] （4）

[答疑编号10010110：针对该题提问] 解：（1）

（2）

（3）

（4）

（如果符号是奇数，等于相反数；如果是偶数，等于原数）

例3 若

计算

（以上两组数相等）

[答疑编号10010111：针对该题提问] 解：

由于

与例3的结果比较，发现

这一结果说明：三阶行列式等于它的第一列的元素与对应的代数余子式的积的和，这一结果可以推广到n阶行列式作为定义。

即规定n阶行列式

中因为

的值为它的第一列的元素与相应代数余子式的积的和，上面结果

所以有

特别情形

例4 计算下列行列式

（1）

[答疑编号10010112：针对该题提问]

由本例可见四阶上三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积

（2）

[答疑编号10010113：针对该题提问]

可见五阶上三角形行列式的值仍等于它的主对角线各数之积

一般地可推得

即任意n阶上三角形行列式的值等于它的主对角线各数之积 同理有

1.2 行列式按行（列）展开

在1.1节讲n阶行列式的展开时，是把按其第一列展开而逐步把行列式的阶数降低以后，再求出其值。实际上，行列式可以按其任意一行或按其任意一列展开来求出它的值。 现在给出下面的重要定理，其证明从略。

定理1.2.1（行列式展开定理）n阶行列式

等于它的任意一行（列）的各元素与

其对应的代数余子式的乘积之和，即

（i=1,2,…,n） （1.8）

或

（j=1,2,…,n） （1.9）

其中，是元素在D中的代数余子式。

（1.8）式称为D按第i行的展开式，（1.9）式称为D按第j列的展开式，这里i,j=1,2,… 上述展开定理也可以表示成

（i=1,2,…,n）

（j=1,2,…,n）

这两个展开式中的每一项都由三部分组成：元素和它前面的符号

以及它后面的

余子式，三者缺一不可！特别容易忘掉的是把元素（特别是）抄写下来。

根据定理1.2.1知道，凡是含零行（行中元素全为零）或零列（列中元素全为零）的行列式，其值必为零。 特别情形 （1）

（2）

例5 计算

[答疑编号10010201：针对该题提问]

解：由于第一行或第四列所含零最多，故可按第一行展开（解题技巧）

可见四阶下三角形行列式的值也等于它的主对角线各数之积 例5的结果可推广为

我们称这种行列式为下三角行列式（可任意取值的元素在主对角线的下面）。

例6 计算

[答疑编号10010202：针对该题提问]

解：由于第2行含0最多，所以应按第二行展开

例7 计算

[答疑编号10010203：针对该题提问]

解：将

按第6行展开得

例8 计算

（1）

[答疑编号10010204：针对该题提问] 解：按第4行展开

（2）

[答疑编号10010205：针对该题提问] 解：将D按第一行展开

（重新分组后得出）

1.3 行列式的性质与计算

因为n阶行列式是n!项求和，而且每一项都是n个数的乘积，当n比较大时，计算量会非常大，例如，10!=3628800。所以对于阶数较大的行列式很难直接用定义去求它的值，这时利用行列式的性质可以有效地解决行列式的求值问题。下面我们来研究行列式的性质，并利用行列式的性质来简化行列式的计算。

1.3.1 行列式的性质

将行列式D的第一行改为第一列，第二行改为第二列……第n行改为第n列，仍得到一个n阶行列式，这个新的行列式称为D的转置行列式，记为或。即如果

则

或

性质1

行列式和它的转置行列式相等，即

根据这个性质可知，在任意一个行列式中，行与列是处于平等地位的。凡是对“行”成立的性质，对“列”也成立；反之，凡是对“列”成立的性质，对“行”也成立。所以只需研究行列式有关行的性质，其所有结论对列也是自然成立的。 （运用最多）性质

2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD。这也就是说，行列式可以按某一行和某一按列提出公因数：

证 将左边的行列式按 …… 此处隐藏：3383字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……