人教版高二数学选修1第三章测试题(三)

高中新课标数学选修（1-2）第三章测试题3

一、选择题

1．a 0是复数z a bi(a，b R)为纯虚数的（ ）

Ａ．充分条件但不是必要条件

Ｂ．必要条件但不是充分条件

Ｃ．充要条件

Ｄ．既不是充分也不必要条件

答案：Ｂ

2．若z1 2 i，z2 3 ai(a R)，z1 z2的和所对应的点在实轴上，则a为（ ）

Ａ．3

Ｂ．2 Ｃ．1 Ｄ． 1

答案：Ｄ

3．复数z (a2 2a) (a2 a 2)i对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．a 2或a 1

Ｂ．a 2且a 1 Ｃ．a 0 Ｄ．a 2或a 0

答案：Ｄ

4．设z1，z2为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）

22Ａ．若z12 z2

0，则z12 z2

Ｂ．z1 z2

2Ｃ．z12 z2 0 z1 z2 0 Ｄ．z1 z1是纯虚数或零

答案：Ｄ

5．设z (2t2 5t 3) (t2 2t 2)i，t R，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z的对应点Z在第一象限

Ｂ．z的对应点Z在第四象限

Ｃ．z不是纯虚数

Ｄ．z是虚数

答案：Ｄ

6．若1 i是实系数方程x2 bx c 0的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1 i Ｂ． 1 i Ｃ． 1 i Ｄ．i

答案：Ａ

7．已知复数z1 cos i，z2 sin i，则z1·z2的最大值为（ ） Ａ．3

2

Ｄ．3

答案：Ａ

8．已知m R，若(m mi)6 64i，则m等于（ ）

Ａ． 2

答案：Ｂ

12对应的向量为OA，9．在复平面内，

复数 复数 对应的向量为OB．那么向量AB2Ｂ．

Ｃ． Ｄ．4

对应的复数是（ ）

Ａ．1 Ｂ． 1

Ｄ．

答案：Ｄ

10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ）

①两个复数不能比较大小；

②z1，z2，z3 C，若(z1 z2)2 (z2 z1)2 0，则z1 z3；

③若(x2 1) (x2 3x 2)i是纯虚数，则实数x 1；

④z是虚数的一个充要条件是z z R；

⑤若a，b是两个相等的实数，则(a b) (a b)i是纯虚数；

⑥z R的一个充要条件是z z．

Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3

答案：Ｂ

11．复数a bi(a，b R)等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ）

Ａ．(a b)2 1

答案：Ｂ

Ｂ．a2 b2 1 Ｃ．a2 b2 1 Ｄ．(a b)2 1

12．复数z满足条件：2z z i，那么z对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆

Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线

答案：Ａ

二、填空题

·i所对应的点在第四象限，则 为第象限角． 13．若复数z cos sin

答案：一

14

．复数z i与它的共轭复数z对应的两个向量的夹角为

答案：60°

15．已知z 2 i，则z3 4z2 5z 2 ．

答案：2

16．定义运算

abcc ad bc，则符合条件2 zzi 3 2i的复数z

74答案： i 55

三、解答题

17．已知复数(x 2) yi(x，

y R)

解：∵x 2 yi

0)为圆心，

∴(x 2)2 y2 3，故(x，y)在以C(2，y的最大值． x

y表示圆上的点(x，y)与原点连线的斜率． x

y

x

如图，由平面几何知识，易知

18．已知z 1 i，a，b为实数．

（1）若 z2 3z 4，求 ；

z2 az b（2）若2 1 i，求a，b的值． z z 1

解：（1） (1 i)2 3(1 i) 4 1 i，

∴ ；

（2）由条件，得(a b) (a 2)i 1 i， i

∴(a b) (a 2)i 1 i，

，， a b 1 a 1∴ 解得 a 2 1，b 2．

19

．已知z1 x2，z2 (x2 a)i，对于任意x R，均有z1 z2成立，试求实数a的取值范围．

解：∵z1 z2，

∴x4 x2 1 (x2 a)2，

∴(1 2a)x2 (1 a2) 0对x R恒成立．

当1 2a 0，即a 1时，不等式成立； 2

1 2a 0，1当1 2a 0时， 1 a 22 4(1 2a)(1 a) 0

1 ． 综上，a 12

20．已知 z i(z C)，

解：设z a bi(a，b R) z 222是纯虚数，又 1 16，求 ． z 2

z 2(a 2) bi(a2 b2 4) 4bi∴ ． z 2(a 2) bi(a 2)2 b2

∵z 2为纯虚数， z 2

a2 b2 4 0， ∴ b 0．

∴ 1 (a 1) (b 1)i (a 1) (b 1)i

(a 1)2 (b 1)2 (a 1)2 (b 1)2

2(a2 b2) 4b 4

8 4b 4

12 4b．

∴12 4b 16．∴b 1． 2222

把b 1代入a2 b2

4，解得a ．

∴z i．

∴ 2i．

(1 i)3(a bi)z对应的点是正21．复数z 且z 4，z对应的点在第一象限内，若复数0，z，1 i

三角形的三个顶点，求实数a，b的值．

(1 i)2·(1 i)解：z (a bi) 2··ii(a bi) 2a 2bi， 1 i

由z 4，得a2 b2 4． ①

∵复数0，z，z对应的点是正三角形的三个顶点，

∴z z z，

把z 2a 2bi代入化简，得b 1． ②

又∵Z点在第一象限内，∴a 0，b 0．

a 由①②，得

b 1．

故所求a b 1．

122．设z是虚数 z 是实数，且 1 2． z

（1）求z的值及z的实部的取值范围．

（2）设 1 z，求证： 为纯虚数； 1 z

（3）求 2的最小值．

（1）解：设z a bi，a，b R，b 0， a b 1 a 2 b i． 则 a bi 222 a ba ba bi

因为 是实数，b 0，所以a2 b2 1，即z 1．

1于是 2a，即 1 2a 2， a 1． 2

1 1 ； 所以z的实部的取值范围是 ， 2

1 z1 a bi1 a2 b2 2bib i． （2）证明： 1 z1 a bi(1 a)2 b2a 1

1 1 ，b 0，所以 为纯虚数； 因为a ， 2

b21 a21 a 12 2 2a 2(a 1) 3 （3）解： 2a 2a 2a 1 (a 1)2(a 1)2a 1 a 1a 1

1 1 ，所以a 1 0，

因为a ，2

·故 2≥234 3 1． 当a 1 1，即a 0时， 2取得最小值1． a 1