第12讲 同角三角函数关系及诱导公式(教案)1

第12讲 同角三角函数关系及诱导公式(教案)1

第十二讲 同角三角函数关系及诱导公式

知识要点：

1.同角三角函数基本关系：

（1）基本关系：

2①平方关系: sin2 ＋cos2 ＝1 1 tan 1 cos2

sin cos ②商数关系: tan ＝（ ≠k ＋2k∈Z）；cot ＝（ ≠k ，k∈Z）． cos sin

③倒数关系: tan 1

cot （ 1k ） 2

（2）常用变换形式:

（1）根据这三大关系，若已知一个角 的位置，及其一个三角函数值，则一定能求出其余的三角函数值．

（2）几个常用关系式：sinα+cosα，sinα--cosα，sinα·cosα；三式之间可以互相表示。

2.诱导公式：

（

（①六组诱导公式统一为“k ，记忆口诀：奇变偶不变，符号看象限. (k Z)”2

②求任意角的三角函数值方法和步骤：负化正 大化小 小化锐，体现了化归思想。

(1)利用诱导公式（三）将负角的三角函数变为正角的三角函数.

(2)利用诱导公式（一）化为0°到360°间的角的三角函数. (3)进一步转化成锐角三角函数. 二.基础练习

1.化简1－sin4 的结果为

2.化简sin4θ＋cos2θ＋sin2θcos2θ

2a3. 已知tanθ＝ (其中0＜a＜1，θ是三角形的一个内角)，则cosθ的值是a－1

4.化简：2－sin221°－cos 221°＋sin417°＋sin217°·cos 217°＋cos 217°

π15．已知sin（π－α）＝log8，且α∈(－，0)，则tanα的值是 42

13 )6． 的值是. 19cos( ) cos690 6sin330 tan(

2 3 4 5 6 tan tan tan tan tan 777777

2008. 设3sin2 cos 3,0 ， 90，求 与 。 7.求值：tan tan

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一、 典型例题

例1. 化简：（1）化简

变式：化简：（1）

cos( sin( 2 )tan( 150 )cos( 210 )cos( 420 )（2） cot( 600 )sin( 1050 )sin( ) cos( sin( n ) sin( n )2 4 ) cos(n )，（n Z）. (n Z).（2）sin(2n 33sin( n )cos( n )

例2.已知sinx cosx m,(m （2）sin4x cos4x的值. 2,且m 1)，求（1）sin3x cos3x；

.

变式：已知关于x的方程4x2－2(m＋1)x＋m＝0的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦，求实数m的值.

1例3.已知cos(75°＋α)＝3，其中α为第三象限角，求cos(105°－α)＋sin(α－105°)的值.

变式：已知cos(3 5－α)＝，求cos(π＋α)＋sin2(α－）的值. 6663

例4．已知α是第三象限的角，且

3sin（π－α）cos（2π－α）tan（－απ）tan（―α―π）2f(α)＝ sin（－π－α）

31(1)化简f（α）； (2)若cos(α－ π)，求f(α)的值； 25

(3)若α＝－1860°，求f（α）的值.

例5. 设 是第二象限角, 且cos

2 sin 1 ,求cos sin的值. 2322

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1－cos4α－sin4αsinx 例6. 化简 (1) (2) 1－cosα－sinα1 cosx

(3)

变式： 化简

tanx sinx tanx sinx ) 2

(2) 是第三象限角) 例7. 证明(1)

1＋2sinθcosθ1＋tanθ＝ cosθ－sinθ1－tanθ

变式： (1)求证:

(2)

1＋sinxcosxcosx 1－sinx 2tan ，试确定使等式成立的角 的集合。 11例8.设sinα2，cosβ＝－2，且α、β不在同一象限，求sin（α＋β)的值.

分析：依据已知条件可得α、β满足条件的情况有：

（1）α在第一象限，β在第二象限；

（2）α在第一象限，β在第三象限；

（3）α在第二象限，β在第三象限.

四.课后练习

441.已知sinx cosx 1，则sinx cosx．

132．若tanα＝,π<α< π，则sinα·cosα＝ 32

2sin2 2sin cos cos2 3．已知tanx 2，则5sin 2cos _______

a－34－2aπ4．若sinα＝，cosα＝ ，2＜α＜π，则a的值 a＋5a＋5

5．若β∈［0，2π)，且1－cosβ ＋1－sinβ ＝sinβ－cosβ，求β的取值范围.

446.sin cos 则, sin cos ____sin cos ___. tan cot =___ sin 4cos

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17.已知sinθ＋cosθ＝5，θ∈(0，π)，求tanθ的值.

8.若sinα,cosα是方程3x2+6mx+2m+1＝0的两根，则实数m的值为

9．求证：tan2θ－sin2θ＝tan2θ·sin2θ.

10.设方程式x2 (tan cot )x 1

0有一根为3 ，试求sin cos __

sinx＋cosxsin(2 cos( sin2x11.化简：（1）－ （2） sinx－cosxtanx－1cos( sin(3 sin(

sin(5400 x)1cos(3600 x)（3） 000sin( x) tan(900 x)tan(450 x)tan(810 x)

2π12．已知sin（π－α）－cos(π＋α)＝3 2＜α＜π)，

ππ求sinα－cosα与sin3（2 ＋α）＋cos3(2＋α)的值.