柯西不等式在高中数学解题中的应用

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解题技巧与方法躲I

拇不赘燕窬咿欺篇蕤嘹蟋康◎朱亚呖 (南省衡东县第一中学湖柯西不等式是个非常著名的不等式，新教材中出现在越来越多与之有关的应用 .活而巧妙地运用柯西不等式灵解决相关数学问题，往可以收到事半功倍的效果 .往相关定理柯西不等式是指下面的定理： 定理设 a,, =1 2…, )则 b E R(,, n,一

4 10 ) 24 0

( )果，,≥1 2如 ):且+,++ .

+

:,E: 2i N~ i

≥

、

证明

注意到++

:,由柯西不等式， 2又得

n

H

、

而.

+ - z 1 y 1 -。≥

+

+

(。i≤∑ n ( 6.∑ ) ( ∑ b ) )当数组 a,:…, 6,…,不全为 0时，号成。0, 0,。b, 6等立当且仅当 b=A 1≤n,中 A为实常数 . a(≤i )其二、西不等式的证明柯常用的证明柯西不等式的方法有： 1 .配方法利用判别式证明

丽

而

+

+ V一 (++ 1所不 、 /以 Yz÷ z

等式得证.

若∑。:, n一一n=,等显成 . 0则。: 0不式然立i= 1

2 .求函数的最值 () 1设++=10求 _,,)= x+ y+1z的 Y 0,厂 y ( 3 4 2最大值. 解由柯西不等式，得( x+4 3 y+1 z≤(+Y ) (。+4 2) + 3+1 . 2 ) . .

若∑。≠, 0构造二次函数_ ) (。。一厂=∑ ( )i= 1 1

3+ y+1z 面 x 4 2<￣9 2+ . 0-

=3 10,、值 . d

2∑。+∑ 6=∑ (i b 0于 R成 ( ) 6 a—i>对 恒 x )ti 1= i= 1 E i ^

从而 _ Y 3+ y十 2厂 (,)= x 4 1 z的最大值是 1 0, 3.

立，此所以二次函 ()判别式A ( 2。。一数厂的 =一∑。) 6‘i 1=n n n

(), 2求 ( )=

C c 08 os

s n i

￣

4∑ n∑ b o ( n i≤∑ n∑ 6 2 ,∑ ) ≤即 b‘ 2 .当 b

=A 1≤n时显然不等式取等号 . a(≤i )当不等式取等号时 A=0二次函数有唯一实根设为 A, f A=,则 ( ) (i aA—b)=, b 0即=A 1≤ n,以，西不等式 a (≤i )所柯得证.

解设量=c, 1= O,日由西 向口( s/ C s )柯不、s 1 S i, On,日n o西 等知(+) ( )。+n)以式， 3≤ 2 4, (s s日所 c日 i, 八 )=4+

_ 9的最小值是 2 . _ _ 5sn 0 i

。。

2 .用向量法证明设 n维空间中有两个向量 a=(。 a,, , a,:… a ) b=(。 b, b,,,中 a,…, b,…,为任意两组 … b)其 a, a,。 b, b实数.

3 .求解方程组㈩解方程组.

解

由柯西不等式知，

由向量的长度定义， I n+:…+ 有 I: o+ n n,b=/+b +6.￣6+。:。又由内积的定义， b=l l oO其中 0是 a b的 a albl s, c,夹角，有 a 6=aI1+a b且 b 2 2+…+a b. n lo O≤ 1故 I s I, a bl I I c≤ al61 .‘’

+∥][ )(](+ ( ÷ ≥x 2 (+ 2y

即+≥ 35程解 4 ), { 6’组 >故无 3方(在数内方组 2 22, 2实集解程』++= ) y詈【 8+ y 2z 3.一 6一 4:9解由柯西不等式，得

.

于是 lll b+。+ n l￣。+ ‘+:‘口b+ 22 ab≤/。+ 。 ‘,

/ b++: b+ … b,目 ( 11 22口 06+。b+…+ab ) n≤(++…+n ) b n。: (+

b+…+:.; b)当且仅当{o0 - cs I 1时，口与 b共线时等号成立 .即 由 a b共线可知， A la= b,, b (, a= b,2 A 2… a=A A∈R),

(++ ) (一8++(一2 )≥ (一8 6, Y [ ) 6 4] x+ )一 2 4 ). ① (z 2 z) (一 )+6 +y+ [ 8 z z+(一 4 z ×(4+ 2 )]: 9 6. ..

即=…一 ( 0i 12

…,) ≠ b≠,=,, n .o1 02 o

3 6+4 x1 4)=3, 4 9 又‘ . (一8 x+6 y一2 z=3, 4) 9 . .

由以上，题得证 .命 三、西不等式的应用柯

(

Y ) (一8 +6+[ )+ (一2 ) 4]=(一8 x

1明不等式 .证 ( )知 a b是不相等的两个正数，证：a+b (+ 1已，求 ( )ab )>(+b . a )

6 2z即①式取等号. y一 4 ),

由西等取号条有== .②柯不式等的件 詈=

证明

(+ =(× o+× o b) 。 ) +(

)[ ) ≤ (+9

②与 8 6 2=联，有=告y式一+一z3立则 一， y4 9=1 8

( ) J. ( 。[

)]=。 ) a+b ) (+6 .

由 o知等号取不到 .以( b ( b)>( b).≠6所 a+ ) a+ a+ 故学学习与研究 2 1. 0 23

,一百’