一维梯形势垒透射系数的计算

来源：网络收集时间：2026-09-28

导读：构造了在超晶格物理中具有潜在应用价值的一维梯形势垒模型并解析地得到了粒子隧穿势垒的透射系数。第33卷第12期2014年12月大学物理COLLEGEPHYSICSVol．33No．12Dec．2014 一维梯形势垒透射系数的计算罗强，姜玉梅，沈榴，徐巍，韩玖荣（扬州大学物理科

构造了在超晶格物理中具有潜在应用价值的一维梯形势垒模型并解析地得到了粒子隧穿势垒的透射系数。

第33卷第12期2014年12月大学物理COLLEGEPHYSICSVol．33No．12Dec．2014

一维梯形势垒透射系数的计算

罗

强，姜玉梅，沈

榴，徐

巍，韩玖荣

（扬州大学物理科学与技术学院，江苏扬州225002）

摘要：构造了在超晶格物理中具有潜在应用价值的一维梯形势垒模型并解析地得到了粒子隧穿势垒的透射系数．给出了该透射系数在低能近似和微斜近似下的近似表达式，并指出它可以视为方势阱透射系数在低能下的修正．此外，区别于方势垒模型，梯形势垒透射系数的峰值并不一定对应于共振透射，但是峰值处对应的粒子入射能量近似地满足势垒高度和相应一维无限深梯形势阱中粒子能级之和的规律．

关键词：梯形势垒；透射系数；共振隧穿中图分类号：O413．1

文献标识码：A

文章编号：1000-0712（2014）12-0042-04

众所周知，量子理论在上世纪初叶得到了有效

的建立和快速的发展，薛定谔方程为描述微观粒子的运动规律提供了物理基础

［1，2］

系数得到了广泛的研究，低能近似的表达式表明透

射系数随势垒的加宽或加高而指数衰减，进而解释．同多势垒模型不可以解析地得到透射系数的劣势相比，在这了宏观条件下一般观察不到隧道效应

篇论文里我们构造了一维梯形势垒模型，并首次得到了该模型下粒子透射系数的显式表达式，并对共振透射等问题进行了讨论．

［2］

．与此同时，对电子

隧道效应的理论和实验研究伴随着量子力学发展的

始终，一系列粒子贯穿势垒的范例逐渐增强了人们对电子输运现象的理解．实验上发现的α粒子衰变、金属表面的场致发射是隧道效应的实验证据，而此后利用量子遂穿发明的实验仪器，如1982年宾尼和尼雷尔研制的扫描隧道显微镜（STM）等，则是隧道效应的实际应用

［3，4］

1梯形势垒模型与透射系数

．

超晶格是一种由两种材料交替生长而具有周期性特征的半导体结构，窄带隙的材料形成势阱，而宽带隙的材料形成势垒

［5］

考虑在一维空间运动的粒子，它的势能在有限

区域（0≤x≤a）内同处于势垒的深度线性变化，而在这区域外等于零，即

V0+Fx，0≤x≤a

V（x）=

0，x＜0，x＞a

．对半导体异质结共振透射

的理论和实验研究最早可以追溯到上世纪70年代

Esaki，Chang和Tsu的开创性工作［6］，对从此以后，共振透射的理论研究和在固态器件上的潜在应用吸引了理论和实验两方面的广泛兴趣．理论上的研究

［7］

主要是通过艾里（Airy）函数以及其后的各种改［8］［9］

进和变型版本而构造转移矩阵，基于转移矩阵

{

（1）

而V0和Va其中参数F=（Va－V0）/a具有力的量纲，

分别表示粒子在势垒左右边界处的势能，如图1所示

．

构造计算透射系数的数值算法．实验上则于1987年

首次在AlGaAs/GaAs多量子阱结构上观测到共振透射，其中相邻量子阱施加了0．1～0．2V的电压偏［10］

差．目前，随着材料生长技术和微加工技术的发展，超晶格的制备技术日臻完善，因而加深对透射现象的理解无疑对电子器件的研究有参考和借鉴作用．透射系数是表征隧道效应强弱的物理量，而透射系数与粒子能量、势垒宽度和势垒高度等的关系一直是人们关注的问题．理论上，一维方势垒的透射

收稿日期：2014－04－21；修回日期：2014－06－08

作者简介：罗强（1992—），男，河南罗山人，扬州大学物理科学与技术学院2010级本科生．

图1一维梯形势垒示意图

考虑一束具有能量为E的粒子，它们自左向右

朝向势垒运动并经受势垒的散射．在经典力学中，只

构造了在超晶格物理中具有潜在应用价值的一维梯形势垒模型并解析地得到了粒子隧穿势垒的透射系数。

有能量大于Va的粒子（而且是所有粒子！）才能越

过势垒运动到x＞a的区域，能量低于Va的粒子会在某处反射回去．而在量子力学中，经典力学的这种判断是荒谬的．事实上，若E＜Va，粒子有可能穿透势垒进入x＞a的区域，而E≥Va粒子也可能会被势垒反射回来．

粒子的波函数所满足的定态薛定谔方程为

22dψ－=Eψ，（x＜0，（2）x＞a）2mdx2

和

－

dψ

+（V0+Fx）ψ=Eψ，（0≤x≤a）

2mdx2

Bi）≡得

Ai（ξ）Ai'（ξ）Bi（ξ）Bi'（ξ）

．将式（11）代入式（9）π

Ar2=Alπ

e－ika

kκ

（α+δ）－iβ+γ

kκ

（12）

其中

Ai（ξmax）Bi（ξmax）Ai（ξmax）Bi（ξmax）

，β=α=

Ai'（ξmin）Bi'（ξmin）Ai（ξmin）Bi（ξmin）γ=

Ai'（ξmax）Bi'（ξmax）Ai'（ξmin）Bi'（ξmin）

，δ=

Ai（ξmin）

Bi（ξmin）（13）

据此可知粒子贯穿梯形势垒的透射系数为

Ar241

=2T=Alkκπ

（α+δ）2+β+γ

kκ

Ai'（ξmax）Bi'（ξmax）

（3）

式（2）和式（3）分别是二阶常系数齐次微分方

程和二阶变系数齐次微分方程，因此我们将采用不/，同的方法处理．为简便，令k=则式（2）变

d2ψ2

（4）x＞a）为2+kψ=0，（x＜0，dx2mF1/3ε

－x，，令ξ=κ其中ε=E－V0，κ=则式2F

d2ψ

－ξψ=0（5）（3）变为

dξ2

［11］

即为艾里方程，其解为第一类艾里函数Ai（ξ）和

()

（14）

()()

2梯形势垒中共振透射的条件

势垒高度为V0的一维方势垒模对于宽度为a、

［3，4］

型，能量为E的粒子的透射系数为

第二类艾里函数Bi（ξ）的线性组合．

x＜0和x＞a区域的波函数分别为：综上，

ikx－ikx

ψl=Ale+Bleikx－ikx

ψr=Are+Bre

Trect

（6）（7）

而0≤x≤a区域的波函数为

（8）ψc=AcAi（ξ）+BcBi（ξ）

Bυ（υ=l，c，r）由边界条件决定．需要其中积分常数Aυ、

指出的是，由于没有粒子自右方射入势垒，因此Br=0．

波函数及其导数在势垒左侧即x=0处连续，则

4θ2k2 ，E＞V0

（k2－θ2）2sin2（θa）+4θ2k2 4

，E=V0=

4+k2a2 42k2 2，E＜V0 （k+2）2sinh2（a）+42k2

（15）

0/，0/．图2和式中θ==图3给出了一维方势垒和一维梯形势垒在不同斜度（

F＞0和F＜0）下粒子透射系数随能量的变化曲线．

{

Al+Bl=AcAi（ξmax）+BcBi（ξmax）

ik（Al－Bl）=κ（AcAi'（ξmax）+BcBi'（ξmax））

（9）

式中ξmax=－κε/F．类似地，波函数及其导数在势垒右侧即x=a处连续，则

{

Areika=AcAi（ξmin）+BcBi（ξmin）ikAreika=κ（AcAi'（ξmin）+BcBi'（ξmin））

（10）

通过式（9）和式式中ξmin=κ（a－ε/F）．理论上讲，

（10）便可以得到透射系数的表达式．首先，由式（10）可知

Ac=πeikaBi'（ξmin）－（ξmin）Ar

（11）

ikika

Bc=－πeAi'（ξmin）－Ai（ξmin）Ar

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