2007年全国初中数学竞赛试题及答案

2007年全国初中数学竞赛试题及答案

2007年全国初国数学竞赛试题参考答案 - 1 - 2007年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分．以下每道小题均给出了代号为A 、B 、C 、D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的．请将正确选项的代号填入题后的括号里．不填、多填或错填得零分．）

1．方程组?

??==+6,12y y x 的实数解的个数为（ ）． （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4

答：（A ）

解：若x ≥0，则?

??=+=+6,12y x y x 于是6-=-y y ，显然不可能 ． 若x ＜0，则?

??=+=+-6,12y x y x 于是,18=+y y 解得9=y ，进而求得x ＝－3．

所以，原方程组的解为???=-=9

3y x ，只有一个解． 故选（A ）．

2．口袋中有20个球，其中白球9个，红球5个，黑球6个．现从中任取10个球，使得白球不少于2个但不多于8个，红球不少于2个，黑球不多于3个，那么上述取法的种数是（ ）

（A ）14 （B ）16 （C ）18 （D ）20

答：（B ）．

解：用枚举法：

红球个数 白球个数 黑球个数 种数 5 2，3，4，5 3，2，1，0 4 4 3，4，5，6 3，2，1，0 4 3 4，5，6，7 3，2，1，0 4 2 5，6，7，8 3，2，1，0 4 所以，共16种．

故选（B ）．

3．已知a 、b 、c 是三个互不相等的实数，且三个关于x 的一元二次方程

02=++c bx ax ，02=++a cx bx ，02=++b ax cx 恰有一个公共实数根，则ab

c ca b bc a 2

22++的值为（ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3

答：（D ）．

解：设0x 是它们的一个公共实数根，则

0020=++c bx ax ，0020=++a cx bx ，0020=++b ax cx

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2007年全国初国数学竞赛试题参考答案 - 2 -

把上面三个式子相加，并整理得

0)1)((020=++++x x c b a 因为4

3)2

1(120020++=++x x x ＞0，所以0=++c b a ． 于是ab c ca b bc a 222++＝3)(3)(333333=+-=+-+=++abc b a ab abc b a b a abc c b a ． 或观察三个方程的特点，可知1=x 是它们的一个公共实数根，因此，0=++c b a ． 以下解法同上．

故选（D ）．

4．已知△ABC 为锐角三角形，⊙O 经过点B ，C ，且与边AB ，AC 分别相交于点D ，E ．若⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等，则⊙O 一定经过△ABC 的（ ）． （A ）内心 （B ）外心 （C ）重心 （D ）垂心

答：（B ）．

解：如图，连接BE ，因为△ABC 为锐角三角形，所以∠BAC ，

∠ABE 均为锐角．又因为⊙O 的半径与△ADE 的外接圆的半径相等， 且DE 为两圆的公共弦，所以∠BAC ＝∠ABE ．于是，

∠BEC ＝∠BAC ＋∠ABE ＝2∠BAC ． 若△ABC 的外心为1O ，则∠B 1O C ＝2∠BAC ，所以，⊙O 一定过△ABC 的外心． 故选（B ）．

5．方程256323+

-=++y y x x x 的整数解（x ，y ）的个数是（ ）．

（A ）0 （B ）1 （C ）3 （D ）无穷多

答：（A ）．

解：原方程可化为2)1)(1()(3)2)(1(2++-=++++y y y x x x x x ，

因为三个连续整数的乘积是3的倍数，所以上式左边是3的倍数，而右边除以3余2，这是不可能的．所以，原方程无整数解．

故选（A ）．

二、填空题（共5小题，每小题6分，満分30分） 6．如图，点A ，C 都在函数x

y 33=

（x ＞0）的图象上，点B ，D 都在x 轴上，且使得△OAB ，△BCD 都是等边三角形，则点D 答：（26，0）．

解：如图，分别过点A ，C 作x 设OE ＝a ，BF ＝b ，则AE ＝a 3，CF ＝b 3所以，点A ，C 的坐标为（a a 3,），（b a 2+ A

B

C D E （第4题答案图）

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2007年全国初国数学竞赛试题参考答案 - 3 -

所以 ???=+=,33)2(3,3332b a b a 解得?

??-==363b a ， 因此，点D 的坐标为（26，0）．

7．如图，在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，CA ＝4．点P 是半圆弧AC 的中点，连接BP ，线段BP 把图形APCB （指半圆和三角形ABC 组成的图形）分成两部分，则这两部分

面积之差的绝对值是 ．

答：4．

解：如图，设AC 与BP 相交于点D ，点D 关于圆心O 的对称点记

为点E ，线段BP 把图形APCB 分成两部分，这两部分之差的绝对 值是△BEP 的面积，即△BOP 面积的两倍． 而2222121=??=?=?CO PO S BPO ． 因此，这两部分面积之差的绝对值是4．

8．如图，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝??90n ，则n ＝ ． 答：6． 解：如图，设AF 与BG 相交于点Q ，则 ∠AQG ＝∠A ＋∠D ＋∠G ， 于是 ∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＝∠B ＋∠C ＋∠E ＋∠∠F ＋∠AQG

＝∠B ＋∠C ＋∠E ＋∠F ＋∠BQF ＝540°＝??906

所以，n ＝6．

9．已知点A ，B 的坐标分别为（1,0），（2,0）．若二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 恰有一个交点，则a 的取值范围是 ．

答：－1≤a ＜2

1-，或者323-=a ． 解：分两种情况：

（Ⅰ）因为二次函数3)3(2+-+=x a x y 的图象与线段AB 只有一个交点，且点A ，B 的坐标分别为（1,0），（2,0），所以

[][]32)3(231)3(122+?-+?+?-a a ＋＜0，

得－1＜a ＜2

1-． 由031)3(12=+?-+a ，得1-=a ，此时3,121==x x ，符合题意；

B C A B

C D E F G Q

（第8题答案图）

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2007年全国初国数学竞赛试题参考答案 - 4 - 由032)3(22=+?-+a ，得21-

=a ，此时2

3,221==x x ，符合题意； （Ⅱ）令03)3(2=+-+x a x ，由判别式△＝0，得323±=a ． 当323+=a 时，321-==x x ，不合题意；当323-=a 时，321==x x ，符合题意． 综上所述，a 的取值范围是－1≤a ＜21-，或者323-=a ． 10．已知对于任意正整数n ，都有

321n a a a n =+++ ， 则1

1111110032-++-+-a a a ＝ ． 答：100

33． 解：当n ≥2，有3121n a a a a n n =+++-＋ ，

3121)1(-=+++-n a a a n ，

两式相减，得 1332+-=n n a n ，

所以 )111(31)1(3111n

n n n a n --=-=-， ,4,3,2=n 因此

11111110032-++-+-a a a ＝)100

1991(31)3

1

21(31)211(31-++-+- ＝10033)10011(31=-． 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．已知抛物线43:21+--=x x y C 和抛物线43:22--=x x y C 相交于点A ，B 两点．点P 在抛物线1C 上，且位于点A 和点B 之间；点Q 在抛物线2C 上，也位于点A 和点B 之间．

（1）求线段AB 的长；

（2）当PQ ∥y 轴时，求PQ 长度的最大值．

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2007年全国初国数学竞赛试题参考答案 - 5 - 解：（1）解方程组?

??--=+--=,43,4322x x y x x y 得???=-=,6,211y x ???-==,6,22

2y x 所以，点A ，B 的坐标分别是（ …… 此处隐藏：4055字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……