《平面向量基本定理和正交分解及坐标表示》参考课件2

2.3.1~2.3.2 平面向量基本定理和正交分解 及坐标表示

温故知新向量的加法(三角形法则)

aa+b

b a

向量的加法(平行四边形法则) 向量的减法(三角形法则) 向量的数乘运算 对λa a

a+bb

a-b

b (1)|λa|=|λ| |a| (2)当λ>0时,λa的方向与a方向相同； 当λ<0时,λa的方向与a方向相反； 特别地，当λ=0或a=0时, λa=0

设a,b为任意向量，λ,μ为任意实数，则有： ①λ(μa)=(λμ) a ②(λ+μ) a=λa+μa ③λ(a+b)=λa+λb

( )a ( a) ( a) (a b ) a b

特别地:

向量 b 与非零向量 a 共线当且仅 当有且 只有一个实数λ,使得 b=λa

问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东 30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的 方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力

是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动?

问题:一天,2只住在正西方向的大猴子和4只住在北偏东 30°方向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的 方向拉,已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力

是50牛顿,问这筐桃子往哪边运动?

如果是1只大猴子和4只小猴子呢?

如果要让这筐桃子往我们指定的方向运动,如何改变大小 猴子的数量?

C

M

a

e2e1N

aA B e 1 o e2

OC=OM+ON = xe1+y e2

给定平面内任意两个不共线向量e1 、 e2,其他任

一向量是否都可以表示为xe1+y e2的形式？C

M

a e2 e1N

aB e 1

A o e2

OC=OM+ON = xe1+y e2

平面向量的基本定理如果e1 ,e2 是同一平面内的两个不共线的向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a 数 1、 2使

,有且只有一对实

a = 1 e 1+ 2 e 2其中不共线的向量e1 ,e2 叫做表示这一平面内

的所有向量的一组基底。

思考：平面内,向量的基底是否唯一？

C

EM

aN Fo

例1已知向量e1,e2,求作向量-2.5e1+3e2 . 作法：(1)任取一点o,作OA=-2.5e1,OB=3e2 (2)作 OACB.于是OC就是所求作的向量.

Ce1 e2 3e2

B

A

-2.5e1 O

e2

N

ae1 e1

e2o

C

aM

OC=OM+ON = xe1+y e2平行四边形做法唯一，所以实数对x,y存在唯一

对定理的理解:1)基底:不共线的向量e1 e2。 同一平面可以有不同基底

2)平面内的任一向量都可以沿两个不共线的方向分解成两个向量的和的形式；

3)分解是唯一的

思考:一天,1只住在正西方向的大猴子和住在北偏东30°方 向的小猴子同时发现一筐桃子,他们分别朝着自己住的方向拉,

已知每只大猴子的拉力是100牛顿,每只小猴子的拉力是50牛顿,问这筐桃子往正北运动,要几只小猴子?

?30° 30°

向量的夹角已知两个非零向量a和b如图， 则∠AOB=θ (0 ° ≤θ≤180°) 叫做向量的夹角 当θ =0° 时，a与b同向 o 当θ =180°时， a

与b反向 共起点 b

B

θa A

a与b的夹角是90 °,则a与b垂直，记作a⊥b A 思考:正△ABC中,向量 AB与BC的夹角为几度? B D

C

例2.如图,在平行四边形ABCD中,点M在AB延长线 上,AB=BM,点N是BC中点,用向量方法证明:M、N、D三点 共线D CN A B M

平面内的所有向量都可以用一组基底来表示,这 为我们用向量解决问题提供了一种基本思想方法:将 其他向量化到基底上进行运算,证明.

例3.

设 a、b是两个不共线的向量，已知 CB = a + 3b, CD = 2a – b,

AB = 2a + kb,

若A、B、D三点共线，求k的值。