历年(2000-2013)高中数学联赛试题圆锥曲线部分

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历年（2000-2013）高中数学联赛试题圆锥曲线部分

x2y2aa

件时，对C1上任意一点P，均存在以P为顶点，与C0外切，与C1内接的平行四边形？并

证明你的结论．

解：设PQRS是与C0外切且与C1内接的平行四边形．易知圆的角形1、（2000）已知C0：x2+y2=1和C1：221(a＞b＞0)．试问：当且仅当a，b满足什么条

r1r21122

2⑴⑵ y2 1,

⑴【解】由消去y得，x2+2a2x+2a2m-a2=0．

2 y 2(x m)

①

设f(x)=x2+2a2x+2a2m-a2，问题⑴转化为方程①在x∈(-a，a)上有唯一解或等根．只须讨论以下三种情况：

2

a1 Δ=0得m= 1．此时xp=-a2，当且仅当-a<-a2<a，即0<a<1时适合；

2

2 f(a)·f(-a)<0当且仅当–a<m<a；3

f(-a)=0得m=a．此时xp=a-2a2，当且仅当-a<a-2a2<a，即0<a<1时适合．f(a)=0

得m=-a，此时xp=-a-2a2，由于-a-2a2<-a，从而m≠-a．

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综上可知，当0<a<1时，m=

a2 1

2

或-a<m≤a；

当a≥1时，-a<m<a.

⑵

【解】ΔOAP的面积S=

1

ayp．2

∵0<a<

1

，故-a<m≤a时，0 a2 aa2 1 2m a，由唯一性得2

2

xp= a aa 1 2m．显然当m=a时，xp取值最小．由于xp>0，从而yp 2

积=3；

π12

当<θ<2π时，d≤(2+1)，SABC≤6(2+1)．即此时有2个三角形面积=3．选B．25

4、（2003）过抛物线y=8(x+2)的焦点F作倾斜角为60°的直线，若此直线与抛物线交于A、

B两点，弦AB的中垂线与x轴交于点P，则线段PF的长等于

16816

3(A)(B)(C)(D)8333

2

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解：抛物线的焦点为原点(0，0)，弦AB所在直线方程为y=3x，弦的中点在y=p4

k4434416

即AB中点为(y=－x－)+y=0，得点P的坐标为3333316

∴PF=A．

3

5、（2003）设F1、F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且|PF1|∶|PF2|=2∶1，

94

则△PF1F2的面积等于．46、（2004）已知M={(x，y)|x2+2y2=3}，N={(x，y)|y=mx+b}．若对于所有的m∈R，均有M

∩N，则b的取值范围是

()

x2y2

A．[23

解：点y轴

2，

于B.点C且 1 2 解：AB令

CD,tCP S CAB 2SSt tS CEF11133

CEP CFP ( ) 12 , ,

S CAB2S CAD2S CBD2t1 t2 2t1t2 2t1t2 2

2

设P(x,y),C(x0,x0),因点C异于A，则x0 1,故重心P的坐标为

220 1 x01 x0 1 1 x0x021x ,(x ),y ,消去x0,得y (3x 1)2.

333333

故所求轨迹方程为y

12

(3x 1)2(x ).33

y2

8、（2006）已知椭圆1的左右焦点分别为F1与F2，点P在直线l：x－y＋8＋2164

x2

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＝0上.当∠F1PF2取最大值时，比

|PF1|

的值为|PF2|

解：由平面几何知，要使∠

F1PF2最大，则过F1，F2，P三点的圆必定和直线l相切于点P．直线l交x轴于A(－8－23，0)，则∠APF1＝∠AF2P，即 APF1∽ AF2P，即

|PF1||AP|

＝|PF2||AF2|

又由圆幂定理，

|AP|2＝|AF1|·|AF2|

⑵

而F1(－23，0)，F2(23，0)，A(－8－23，0)，从而有|AF1|＝8，|AF2|＝8＋代入⑴，⑵得，

|PF1|

＝|PF2|

|AF1|

＝|AF2|

8

＝4－23＝3－1．

8＋43

⑴

9、（2007）设圆O不可能是（）

解：设圆O1和圆O1、O2的一部份，当c=0当r1=r2且r1+r2<2c项C；当r1≠r2且r10、（2008）如图 1内切于 PBC，求 解：设P(x0,y0),B(0,b),C(0,c)，不妨设b c．

直线PB的方程:y b

y0 b，

xx0

化简得(y0 b)x x0y x0b 0．

又圆心(1,0)到PB的距离为1，

1，

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故(y0 b) x (y0 b) 2x0b(y0 b) xb，易知x0 2，上式化简得(x0 2)b2 2y0b x0 0，同理有(x0 2)c2 2y0c x0 0．所以b c

2

20

2

220

x0，则 2y0，bc

x0 2x0 2

2

22

4x0 4y0 8x0．

(b c)

(x0 2)2

2

因P(x0,y0)是抛物线上的点，有y0 2x0，则

2

(b c)当(8

11、OQ的

12、A，

B

0，

13、（2010）已知抛物线

y2 6x上的两个动点A(x1,y1)和B(x2,y2)，其中x1 x2且

x1 x2 4.线段AB的垂直平分线与x轴交于点C，求 ABC面积的最大值.

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解：设线段AB的中点为M(x0,y0)，则x0

x1 x2

2

2,y0

y1 y2

2

，

kAB

y2 y1y y163

. 22 2

x2 x1y2y1y2 y1y0

6 6

线段AB的垂直平分线的方程是

y y0

y0

3

(x 2).

（1）

A(

66 , B(, 时等号成立.33

14

7.3

所以， ABC面积的最大值是

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14、(2011)直线x 2y 1 0与抛物线y2 4x交于A,B两点，C为抛物线上的一点， ACB 90 ，则点C的坐标为

15、(2011)

P(32,2)在直线（1（2）若 APB13、（2012）如图，（1）求证：|OA|（2）当点A在半圆(x 2)

2

y2 4（2 x 4）上运动时，求点C的轨迹．

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OB OD,AB AD BC CD,所以O,A,C三点共线

如图,连结BD,则BD垂直平分线段AC,设垂足为K,于是有OA OC (OK AK)(OK AK)

解：因为

OK AK (OB BK) (AB BK) OB AB 62 42 20(定

值)

(2)设C(x,y),A(2 2cos ,2sin ),其中 XMA( 因为

2

22222222

2

2

),则 XOC

2

.

OA (2 由(1)的结论得

y OCsin

2

故点C14、点，且满足 AFB1

15、（2013）在

OA OB 4.F16、（2013A1,A2分别为椭圆的左、右顶点，F1,F2分别为椭圆的左、右焦点.P为椭圆上不同于A1,A2的任意一点.若平面中两个点Q,R满足QA1 PA1,QA2 PA2,RF1 PF1，RF2 PF2,试确定线段QR的长度与b的大小关系，并给出证明.