2012年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷

2012年乌鲁木齐地区高三年级第三次诊断性测验试卷

文科数学试题参考答案及评分标准

2

1．选C．【解析】由题知1

x≥0，∴ 1≤x≤1. 2

．选A．【解析】

3 i 3 i 2 i 5 5

i

1 i，故选A． 2 i2 i2 i5

2

A a 1,2，a

3．选D．【解析】由题知：a 0时，B ，满足题意；a 0时，由满足题意．

4．选B.【解析】圆心为 1,2 ，过点 0,1 的最长弦(直径)斜率为 1，且最长弦与最短弦垂直，∴过点 0,1 的最短弦所在直线的斜率为1，倾斜角是

4

．

5．选D.【解析】A、B可能出现 与 相交；C可能出现m与n相交、异面；由线面垂直的性质可得D正确．

6．选C.

x cosx，解得tanx 7．选B．

【解析】易得外接球的半径R 3

，则外接球的体积 2

4 3 9

V= = ．

3 2 2

8．选C．【解析】易得等差数列 an 中，a1

2

3

15172

n ，d 2，∴Sn

n

22

17 289

n N* ，故当n 4时Sn有最大值S4 18． n 4 16

9．选C．【解析】画出可行域如图，OM OA 3x ，可见当M 0,0 时

OM OA取最小值0，当M时OM OA取最大值18．

4 a 0, a 4,

10．选C.【解析】由题知： a 1,∴ a 1,故2≤a 4.

24 a a2. a≥2或a≤ 4.

11．选C．【解析】由f x 1 1 f x 1 f x ，知f x 的周期为2，又f x 在

6 4

上为减函数，故偶函数在上为增函数，而f f 1,0fx0,1 ，

5 5 4 4 2

f f f ，所以 3 3 3

4 2 1

f f f . 5 3 2

b2

12．选A.【解析】 AF2F 2c e2 2e 1 0，

1 45，AF1 F1F2，即

a

1 e 1

二、填空题：共4小题，每小题5分，共20分.

13．填80%.【解析】次数在110以上（含110次）的频率之和为

0.04 10+0.03 10+0.01 10=0.8，则高一学生的达标率为0.8 100%=80%． 14．填63.【解析】易得在等比数列中，a1 1，q 2，∴S6 15．填

1 1 26 1 2

2

63．

2

.【解析】设圆的半径为r

，面积为2r，由几何概型知

2r22

P 2=．

r

16．填1.【解析】F 1,0 ，可设直线y k x 1 ，则A 0, k ，∴B 1, k ，点B在

2

抛物线上，得k 4，k 2，即B 1, 2 ，S

BOF

11

OF yB 1 2 1. 22

三、解答题：共6小题，共70分．

17．（1）设4小时后甲船航行到C

处，AC

； 6分 BC （

2）由tan

1

得sin

．设经过t小时两船在M处相遇， 25

则在△ABM中，AM ，BM mt，

由正弦定理有

AMBM

，∴m ． 12分 sin sin135

18．（1）证明：取AB的中点O，连结OC、OP.

∵PA PB，∴PO AB. 又∵CA CB，∴CO AB.

∴AB 平面POC，而PC 平面POC

∴PC AB； 6分 （2）由题知：PO 面ABC，且AB

=2，PO

在△PAC中AC边上的高为

h

， 由于VP ABC VB PAC，设B到平面PAC的距离为x， 则

1111

CA CB PO

CA h x3232

，∴

x

CB PO h即B到平面PAC的距离为

． 12分 5

19．所有购买情况如下：AAA，AAB，AAC，ABA，ABB，ABC，ACA，ACB，

ACC，BAA，BAB，BAC，BBA，BBB，BBC，BCA，BCB，BCC，CAA，CAB，CAC，CBA，CBB，CBC，CCA，CCB，CCC，基本事件共27个．

（1）恰有2人购买A小区房产的情况有6种，∴P=

62

=； 6分 279

（2）恰有2人购买同一小区的情况有3 6=18种，3人购买同一小区的情况有3种，

∴至少有2人购买同一个小区的概率为P=

18+37

=．

12分 279

a 2,

a c 2 20．

（1）据题意可知， 解得 ∴b 1．

c a c 2 x2

y2 1； 6分 ∴椭圆的方程为4

（2）设A x0,y0 ，B x1,y1 ，则由对称性可设C x1, y1 ．

2 x02

y0 1, 4∵ 两式相减，得 x0 x1 x0 x1 4 y0 y1 y0 y1 0，

2

x1 y2 1.

1 4

∴ k1k2

y0 y1y0 y11

． 12分

x0

x1x0 x14

21．（1）显然x 0，f x

a1

．则f 1 1,即 a 1 1 a 2． 2

xx

21x 2

0,得x 2． ∴由f x 2 2

xxx

因此当0 x 2时, f x 0,于是f x 单调递减；

当x 2时，f x 0，于是f x 单调递增．

所以f x 的减区间是 0,2 ,增区间是 2, ； 6分

a1 x2 x a

（2）由g x f x 1 2 1

xxx2

由于 x x≤故当a≥

2

x 0 ．

1

， 4

1

时，g x ≤0，于是g x 在 0, 上单调递减，符合题意； 4

当0 a

1

时，g x

0有两个不等的正根x1

，x2 ， 4易知g x 的减区间是 0,x1 和 x2, ，增区间是 x1,x2 ，故g x 在 0, 上不单调，不符合题意，舍去； 当a≤0时，g x

0的两根x1

1 1 ，x2 有x1≤0，

22

x2 0，易知g x 的减区间是和 x2, ，增区间是 0,x2 ，故g x 在 0, 上

不单调，不符合题意，舍去．

综上：实数a的取值范围a , ． 12分 22．选修4-1：几何证明选讲

（1）∵PA是O的切线，AD是弦，∴ PAD ACD．

∵AD AC，∴ ADC ACD，∴ PAD ADC，

∴AP∥CD； 5分 （2）∵ EDF P，又 DEF PEA，∴△DEF∽△PEA，有

1 4

EFED

, EAEP

即EF EP EA ED. 而AD、BC是O的相交弦，∴EC EB EA ED，

故EC EB EF EP， ∴EC

2

EF EP1 2 4 3. EB2

由切割线定理有PA PB PC 4 3 2 4 36，∴PA 6. 10分

23．选修4-4：坐标系与参数方程

1

x x 1, x 2x 2,

（1）设曲线C 上任意一点P x ,y ，由变换 得 代入C得2

y y . y y.

x 1 cos ,

，所以曲线C 是以 1,0 为圆心，半径为1的圆.

y sin .

∴C 的极坐标方程为 2cos ； 5分

x 2 0, x 2,

（2）曲线C 的直角坐标方程为(x 1) y

1，由 得 或

22

y 0. (x 1) y 1.

2

2

2

x , 2 3

, 所以交点为或，两点的坐标均满足曲线C的直角2,0

3 3 y

x2坐标方程 y2 1．

4

∴直线x 2 0与曲线C 的交点也在曲线C上． 10分

24．选修4-5：不等式选讲

（1）不等式可化为：x 1≤2x，解得：x≥ 故不等式x 1≤2x的解集为 x|x≥

1． 3

1

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