构造概率模型巧解数学问题

十‘７擞＇７（２００７年第９期）

解题研究

构造概率模型，巧解数学问题

４２１１４１

湖南省衡南县第一中学陈雪松

构造法即构造性解题方法，是通过对条件和结论充分细致的分析，抓住问题的特征，联想熟知的数学模型，然后变换命题，恰当地构造辅助元素，它可以是图形，函数，方程或其等价命题等，以此架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决的数学解题方法．构造法本质上是化归思想的运用，但它常常表现出简捷、明快、精巧、新颖等特点，使数学解题突破常规，具有很强的创造性．我们在教学中对构造图形，函数，方程等解题有一定的经验，对构造概率模型解题还比较陌生，随着新课程

改革的逐步推进，俺率越来越成为热点，笔者试图

作这方面的尝试，以期抛砖引玉．下面来看几个构造概率模型，解决问题的实例．

１证明不等式

例１若０＜８，６，ｃ，ｄ＜１，证明：（１一口）（１—６）

（１一ｃ）（１一ｄ）＞ｌ一口一６一ｃ一以（本题选自罗增

儒．数学解题学引论Ｐ蚓陕西师范大学出版社）

证明设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ是相互独立的四个事件，且

令Ｐ（Ａ）＝口，Ｐ（Ｂ）＝６，Ｐ（Ｃ）＝ｃ，Ｐ（Ｄ）＝ｄ，

从而ＪＰ（Ａ）＝１一口，Ｐ（曰）＝ｌ一６，

Ｐ（Ｃ）＝１一ｃ，

Ｐ（Ｄ）＝１一ｄ，

由于Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）

＝ｌ—Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ）．

因为Ｐ（Ａ）Ｐ（曰）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ）＝口６耐＞０，

故Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ不是互斥事件．

所以Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｄ）

＜Ｐ（Ａ）＋Ｐ（口）＋Ｐ（Ｃ）＋Ｐ（Ｄ），于是１一Ｐ（Ａ）Ｐ（曰）Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ｄ）＜Ｐ（Ａ）＋尸（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）＋ＪＰ（Ｄ），即（１一口）（１—６）（１一ｃ）（１一ｄ）

＞１一口一６一ｃ一正

例２已知口≥ｌ，６≥ｌ，ｃ≥１．求证：

ｎ２６２＋６２ｃ２＋ｃ２口２＋１≤口２＋６２＋ｃ２＋口２６２ｃ２．

万方数据

分析考虑到口≥ｌ，６≥ｌ，ｃ≥ｌ，从而不能把它们看成某些事件的概率，为此，先把原不等式恒等变形，两边同除时以ｎ２６２ｃ２．

证明原不等式两边同除以口２６２ｃ２得

７＋矿＋了＋丽刮＋丽＋砑＋习’吉＋古＋吉＋志≤－＋寿＋寿＋南．

从而只要证明上面不等式成立即可．

设Ａ、Ｂ、ｃ是三个相互独立的事件，

且令Ｐ（Ａ）：与，Ｐ（Ｂ）：丢，Ｐ（ｃ）：｛，

显然Ｐ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）≤ｌ，另一方面

Ｐ（Ａ＋曰＋Ｃ）＝Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ｂ）＋Ｐ（Ｃ）一Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）一ＪＰ（Ｂ）Ｐ（Ｃ）一Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）ＪＰ（Ｃ），所以

ｔ≥专＋古＋专一寿一去一寿＋志即了＋矿＋了＋丽引＋丽＋孬＋蕴砉＋古＋砉＋志≤，＋去＋去＋寿

所以不等式口２６２＋６２ｃ２＋ｃ２口２＋ｌ≤８２＋６２＋ｃ２＋ｎ２６２ｃ２成立．

评析这两个问题若用其他方法证明，则对代

数式的恒等变形能力有较高的要求，此处巧妙地构造概率模型，运算极为简单．

２证明组合数恒等式

例３

证明《ｃ：＋ｃ：ｃ∥＋《ｃ：。＋…＋

证明

构造一个摸球概率摸型，设有ｍ个自

“有自球”的概率为

Ｐ（Ａ）：生土呈薹巡，

乙ｍ＋“

另一方面矛无白球，，的概率为Ｐ（五）：嬖旦．

乙ｍ＋４

由尸（Ａ）＋Ｐ（Ａ）＝ｌ，即可得所要证的等式成立．

（下转４４页）

ｃ：１ｃ：＋ｃ二ｃ：：＝ｃ：＋。

球，儿个黑球，随机地从中取出ｒ个球，那么事件Ａ

十。７般．７（２００７年第９期）

点评从已知点人手研究比图像变换更容易

试题研究

解决．

例８（陕西理８）若函数，（戈）的反函数为，。１（ｘ），则函数以石一１）与厂１（茗一１）的图象可能是

是，，＝ｋ＋３，则口＝——；６＝——．

＝知＋÷口，比较系数得ｏ＝６，６＝÷．＝｝＋吾口，比较系数得。＝６，６＝÷．

例９（湖北１１）已知函数ｙ＝２并一口的反函数

解析函数），＝２茗一８的反函数并＝２ｙ一８，即，，

点评求反函数的关键是将戈、ｙ互换，有时可

以不必用含ｙ的代数式表示省，即省略第２步．

例１０

（重庆文１０）设Ｐ（３，１）为二次函数

必茗）＝僦２—２甜＋６（菇≥１）的图象与其反函数

Ａ

Ｂ

），＝厂１（戈）的图象的一个交点，则

Ａ．口＝÷，６＝寻ｃ．口＝一÷，６＝丢

Ｃ

Ｄ

Ｂ．口＝丢，６＝一吾

Ｄ．８＝一丢，６＝一÷

分析求ｏ、６的值，需建立关于口、６的两个方

程，点Ｐ（３，１）在八菇）＝锨２—２础＋６（戈≥１）的图象

解析以Ⅳ一１）图像由以髫）的图像向右平移１个单位得到，一（茹一１）图像由厂１（ｘ）的图像向右平移１个单位得到，函数厂（茗）与厂１（戈）关于直线），＝髫对称，则函数八戈一１）与厂１（菇一１）的图象关于，，＝算一

１对称，故选Ａ．

点评函数ｙ＝以戈一１）的反函数是），＝厂１（戈）＋ｌ，而不是），＝厂１（茗一１）．４求值（上接２０页）

上，故有ｌ＝９口一６乜＋６，点Ｐ（３，１）在／（省）＝似２—２似＋６（ｚ≥１）反函数的图象上，（１，３）在只算）＝麟２

—２似＋６（戈≥１）的图象上，故有３＝口一２ｎ＋６，所以

ｎ＝一÷，６＝辜，故选ｃ．

点评若求出的反函数求解，费时费力，不明

智．

（收稿日期：２００７０６）

数恒等式．

例４证明：￡＋ｃ：＋《＋…＋ｃ：＝２８．证明

把质地均匀地硬币抛掷ｎ次，考虑事件Ａ“至少出现一次正面”的概率．

设Ａ。＝“出现Ｋ次正面”，Ｋ＝１，２，…，ｎ；则Ａ。，Ａ：，…Ａ。彼此互斥，

构造概率模型解题，关键在于寻找恰当的概率模型，一旦运用成功，它所呈现的是问题的本质规律

和数学的内在美，往往给人耳目一新的感觉．灵活、巧妙的构造常令人拍手叫绝，它无一定之规，没有通

用的构造法则．运用构造法解题对于培养学生思维

的敏捷性和创造性，具有重要的意义，因此它具有独

刖小ｃ：（抄（扩‘＝笋，

于是，Ｐ（Ａ）＝Ｐ（ＡＩ＋Ａ２＋…Ａ。）＝Ｐ（Ａ，）＋尹（Ａ２）＋…Ｐ（Ａ。）

特的教学价值．

参考文献：

１．罗增儒．数学解题学引论［Ｍ］．陕西师范大学出

版社（西安）．Ｐ。。。１９９７

２．朱水根，王延文．中学数学教学导论［肘］．教育

２——１ｒ一，

又因为矛没有出现正面”的概率为ＪＰ（五）：笋，

由Ｐ（Ａ）＋Ｐ（Ａ）＝１即可得

ｃ：＋Ｇ：＋…＋ｃ：

科学出版社（北京）．Ｐ３，，２００１．

３．杨世海．浅析构造法及其教学价值［．，］．中学数

ｃ：＋Ｇ：＋ｃ：＋…＋Ｇ：＝２“．

这样我们成功地运用概率模型，证明了两个代

学教学参考（西安）。２００４．７

（收稿日期：２００７０７０４）

万方数据

构造概率模型,巧解数学问题

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

陈雪松

湖南省衡南县第一中学,421141中学数学

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