山东建筑大学材料力学第五章~1

第五章

弯曲应力

· · · · ·

纯弯曲 纯弯曲时的正应力 横力弯曲时的正应力 弯曲切应力 提高强度的措施

目录

§ 5. 1 (2) 纯弯曲 。纯弯曲时的正应力m M

m

FS

当梁上有横向外力作用时，一般情况下，梁的横截面上既又弯 矩 M , 又有剪力 FS 。

m

m

M

m

FS

m

只有与切应力有关的切向内力元素 dFS = dA 才能合成剪力只有与正应力有关的法向内力元素 dN = dA 才能合成弯矩 所以，在梁的横截面上一般既有 正应力，又有 切应力

一，纯弯曲RAA C D P P

RBB

aP

a

+ +PPa

+

P

P

若梁在某段内各横截面上的弯矩为常量 ，剪力为零， 则该段梁的弯曲就称为 aP C D

a

纯弯曲。

+ +P Pa

+

二，纯弯曲时横截面上的正应力 推导 纯弯曲 梁横截面上正应力的计算公式。

推导公式时，要综合考虑 几何 ，物理 和 静力学 三方面 。 取 一 纯弯曲 梁来研究 。

1,几何方面m a n a

b m n

b

梁在加力前先在其侧面上画上一系列的横向线(如 mm ,nn 等) 以及横向线相垂直的一系列的纵向线 (如 aa ,bb 等) 。

ma

na

m

m

b m n

b

梁变形后观察到的现象 (1)变形前相互平行的纵向直线(aa ,bb 等),变形后均为 圆弧线(a’a’ ,b’b’等 ),且靠上部的缩短靠下部的伸长。

ma

na

m

m

m’

n’

b m n

bm’ n’

(2)变形前垂直于纵向直线的横向线( mm , nn 等)变形后仍 为直线( m’m’ , n’n’ 等) ,但相对转了一个角度，且与 弯曲后的纵向线垂直。

平面假设 ：梁在受力弯曲后，原来的横截面仍 为平面，它绕着该横截面上的 某一轴 旋转了一 个角度，且仍垂直于梁弯曲后的轴线 。

(3)公式推导 用两个横截面从梁中假想地截取 长为 dx 的一段 。 由平面假设可知，在梁弯曲时， 这两个横截面将相对地旋转一个 角度 d 。

d

横截面的转动将使梁的凹边的纵 向线段缩短，凸边的纵向线段伸 长。由于变形的连续性，中间必 有一层纵向线段 O1O2 无长度改 变。此层称为 中性层 。

d

O1O2 的长度为 dx 。

O1

dx

O2

中性层与横截面的交线称为 中性轴 。 中性轴与横截面的 对称轴成正交 。

d

O1

dx

O2

d

横截面的 对称轴

横截面

O1

dx

O2

中性层

中性轴

d Z

x

y

将梁的轴线取为 x 轴 。O1

dx

O2

横截面的对称轴取为 y 轴 。 中性轴取为 z 轴 。

为中性层上的纵向线段 O1O2变弯后的曲率半径。

d

在横截面上取距中性轴为 y 处的纵向线 AB。 作 O2B1 与 O1A 平行。 O2B1 的长度为 y 。y

O1

dxy

O2d

AB1

B