浅谈伯努利方程的几种解法与应用

本科毕业论文

题目： 浅谈伯努利方程的几种解法与应用

学院： 数学与计算机科学学院

班级： 数学与应用数学2011级专升本班

姓名： 张丽传

指导教师： 王 通 职称： 副教授

完成日期： 2013 年 5 月 25 日

浅谈伯努利方程的几种解法与应用

摘要: 本文在研究已经公认的多种伯努利方程解法的前提下,把这些方法进行整合.

首先,将各种解法进行分析归类,并总结出几种常见的求解伯努利方程的方法;其次,比较各种解法的优缺点;再次,利用一题多解来巩固文中所介绍的各种解法;最后,略谈伯努利方程在求解里卡蒂方程中的重要应用.

关键词: 伯努利方程;变量代换法;常数变易法;积分因子法

目 录

引言 ....................................................................................................................................... 1 1 伯努利方程的解法 ........................................................................................................... 1 1.1 代换法 ....................................................................................................................... 1 1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用 ........................................................... 1 1.1.2 函数代换法 ....................................................................................................... 2 1.1.3 求导法 ............................................................................................................... 3 1.1.4 恰当导数法 ....................................................................................................... 3 1.2 直接常数变易法 ....................................................................................................... 4

dy

P(x)y 0的通解中c的常数进行常数变易 .................................... 4 1.2.1 对dxdy

Q(x)yn通解中的常数c进行常数变易 ............................................ 4 1.2.2 对dx1.3 积分因子法 ............................................................................................................... 5 1.4 各种方法的比较 ....................................................................................................... 6 1.5 解法举例 ................................................................................................................... 6 2 伯努利方程在里卡蒂方程中的应用 ............................................................................. 10 3 总结 ................................................................................................................................. 11 参考文献 ............................................................................................................................. 12

引言

在高等数学数学分析科学体系中,微分方程是其中非常重要的一个组成部分,而伯努利方程又是一类很重要的一阶非线性常微分方程,在很多学科中都有广泛的应用, 尤其是在物理和化工方面应用非常广.伯努利方程的表达式:y P(x)y Q(x)yn,

Q(x)是关于n的连续函数,n为不等于0和1的任意常数.一般地,该方程这里P(x)、

可以通过一些特殊的方法转化为线性微分方程,进而用解线性微分方程的方法来求解.许多学者在探求伯努利方程解法这方面做出了卓著的贡献,本文在充分分析这些贡献的基础上,根据各种解法的特点,将它们进行了归类总结,有利于我们对各种解法进行深刻的理解和认识.在数学学习过程中,一题多解不仅能帮助学生很好地掌握所学知识,而且还能扩散学生的思维,进而培养学生的创新精神、提高创新能力,这正符合新课标对学生的要求.为了更进一步地掌握各种解法,在本文中我采用了一题多解,上下对比,一目了然.同时,探讨了伯努利方程在求解里卡蒂方程中的应用.本文主要有两大板块构成,具体如下:首先,是伯努利方程的解法及举例,主要浅谈了伯努利方程的变量代换法、常数变易法、积分因子法三种方法;其次,是伯努利方程的应用,主要浅谈了伯努利方程在里卡蒂方程求解中的应用. 1 伯努利方程的解法 1.1 代换法

1.1.1 变量代换法、常数变易法的混合运用

伯努利方程

求解步骤如下

dy

（n 0，1）. (1.0) P(x)y Q(x)yn

dx

(1) (1.0)式两端同除以yn得 y n

(2) 变量代换

dy

P(x)y1 n Q(x). (*) dx

令z y1 n即可将上式化为一阶线性非齐次微分方程

dz

(1 n)P(x)z (1 n)Q(x) . (1.1) dx(3) 常数变易

首先,通过对(1.1)式所对应的齐次方程通解中的常数c1进行常数变易变为c1(x);然后,经过一系列的求解过程求得方程(1.1)式的通解．

dz

① 先求 (n 1)P(x)z的通解.

dx

经变量分离后对方程两边一起积分求得一阶线性齐次微分方程的通解

(n 1)P(x)dx

z c e . (a)

1

② 再对(a)式中的c1进行常数变易变为c1(x),得(1.1)式的通解,将此通解代入 (1.1)式得

(1 n)P(x)dx

c1(x) (1 n) Q(x)e

从而得(1.1)式通解

dx c2,

z e

(n 1)P(x)dx

[(1 n) Q(x)e

(1 n)P(x)dx

dx c2].

(4) 变量代换

c

令c 2,接下来将z y1 n代到上式得(1.0)式的通解

1 n

(n 1) P(x)dx(1 n) P(x)dx

y1 n (1 n)e． [Q(x)edx c] （c为任意常数）

当n 0时,方程还有解y 0. 1.1.2 函数代换法

P(x)dx定理 若y f(x)g(x)是(1.0)式的通解且g(x) e ,则(1.0)式的

通解为y1 n (1 n)e

(n 1)P(x)dx

[ Q(x)e

(1 n)P(x)dx

dx c].

证明 对y f(x)g(x)两边求导得

y f (x)g(x) f(x)g (x),

将上式代入(1.0)式得

f (x)g(x) f(x)g (x) P(x)f(x)g(x) Q(x)fn(x)gn(x),

整理得

f (x)g(x) f(x)[g (x) P(x)g(x)] Q(x)fn(x)gn(x) . (1.2)

P(x)dx

因为g(x) e , 所以g (x) P(x)g(x) 0. 将上式代入(1.2)式得

f (x)g(x) Q(x)fn(x)gn(x), 整理得

f (x)f两边积分得

f则(1.0)式的通解为 y1 n (1 n)e(n 1)P(x)dx1 n

n

(1 n)P(x)dx

(x) Q(x)e

,

(x) (1 n)[ Q(x)e

[ Q(x)e

(1 n)P(x)dx

dx c],

(1 n)P(x)dx

． dx c]（c为任意常数）

当n 0时,方程还有解y 0. 1.1.3 求导法

令z M(x)y1 n N(x),则y

1 n

z N(x)

.

M(x)

对上式两边求导得

z M (x)y1 n (1 n)M(x)y ny N (x),

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