浅谈有关恒成立问题的解题策略与技巧

科技信息○教学研究○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2011年第7期

浅谈有关恒成立问题的解题策略与技巧

张长明

(沁阳市第一中学河南沁阳

454000)

【摘要】恒成立问题是高考的一个热点问题，它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线的性质、图象等数学思想与方法。作者在多年教学实践的基础上给出了有关恒成立问题的分析策略和解题技巧，对于培养薛学生思维的灵活性、创造性方面起到了积极的作用。

【关键词】恒成立；恒成立问题；高中数学；解题技巧

LightAboutTheContinuingTheEstablishmentofStrategiesandSkillstoSolveTheProblem

ZHANGChang-ming

(QinyangshiFirstHighSchool,QinyangHenan，454000)

【Abstract】Aconstantproblemistheentranceexaminationwasahot,itinvolvedafunction,thesecondfunction,anexponentialfunction,thelogarithmicfunction,thenatureoftheconicsectionsandthethoughtsandmethodsformathematics.theauthorinteachingforyearsonthebasisofthetonggiveoutofthefoundingoftheproblemandsolutionofskill,thestrategyondevelopingofthinkingandcreativewayshaveplayedpositiveroles。

【Keywords】Thecontinuingtheestablishment；Constantproblem；HighSchoolmath；Problem-solving

skills近几年来，恒成立问题成为高三复习迎考训练与高考的一个热点，它涉及到一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、圆锥曲线的性质、图象,渗透着分类讨论、化归与转化、数形结合、函数与方程等数学思想与方法，充分的考查了学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用。现根据本人的教学实践，举例说明几种重要的恒成立问题的解题策略与技巧。

解：记f（x）=x+b，g(x)=姨，则原问题等价于函数f（x）与g（x）的图像有两个交点，作出函数图像，可以看出b∈［1，姨)

例4：已知不等式x2-logmx＜0在x∈(0，1)时恒成立，则m的取值

2

1分离变量，转化为函数的最值问题

x

·4x，其中a∈R，如果x∈(-∞.1)时，f(x)恒有例1、设f(x)=lg1+2+a3

范围是__________

解析：将不等式变形为x2＜logmx，记f(x)=x2，g(x)=logmx，在同一直角坐标系中做出这两个函数的图像，使x∈(0，1)时，g(x)

2

意义，求a的取值范围。

分析：如果x∈(-∞.1)时，f(x)恒有意义，则可转化为1+2x+a·4x>0恒成立，即参数分离后a>-1+2=-(2-x+2-2x)，x∈(-∞.1)恒成立，接下来可x

图像上的点在f(x)图像上对应点的上方，如

图：

只需0<m<1，logm1≥(1)2即1≤

2216

m<1

例5：对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x2+px+1>2p+x恒成立的x的取值范围。

分析：在不等式中出现了两个变量x、P，并且是给出了p的范围，要求x的相应范围，那么把p看作自变量，x看成参变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。

解：原不等式可化为(x-1)p+x2-2x+1>0,令f(p)=(x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有：

转化为二次函数区间最值求解。

解：如果x∈(-∞.1)时，f(x)恒有意义圳1＋2x+a·4x>0对x∈(-∞，1)恒成立圳a>-1+2=-(2-x+2-2x)，x∈(-∞.1)恒成立。x

令t=2-x，g(t)=-(t+t2)又x∈(-∞.1)则t∈(1，+∞)∴a>g(t)对t∈(1，+∞)

22

例2、设函数是定义在(-∞，+∞)上的增函数，如果不等式f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0，1]恒成立，求实数a的取值范围。

分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为1-ax-x2<2-a对于任意x∈[0，1]恒成立，从而转化为函数的最值求解。

解：∵f(x)是增函数∴f(1-ax-x2)<f(2-a)对于任意x∈[0，1]恒成立圳1-ax-x2<2-a对于任意x∈[0，1]恒成立圳a(1-x)<x2+1对于任意x∈

2

[0，1]恒成立，当x=1时，a∈R；当x≠1时，a<x+1对x∈[0，1)恒成

22+2立，记g(x)=x+1=-(x-1)+=(1-x)+2-2，x∈[0，1)，所以

原问题圳a<g(x)min，

记t=1-x，y=t+2-2，t∈

(0，1]，则函数y在(0，1]上是单调减函数，所以当t=1时，ymin=1，则a＜1.综上所述：a＜1

恒成立，又∵g(t)在t∈(1，+∞)上为减函数，g(t)<g(1)=-3，∴a≥-3。

∈∈

x-1<0x-1<0

或≤∴x<-1或x>3.≤f(2)>0f(-2)>0f(-2)>0x-4x+3>0x>3或x<1

方法二：≤即≤解得：≤f(2)>0x-1>0x>1或x<-1方法一：

22

∴x<-1或x>3.

3正难则反、逆向思维

2构造函数，数形结合

例3：方程x+b=姨恒有

例6：已知二次函数f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1，若在区间[-1，1]内至少存在一个实数c，使f（c）>0,则实数p的取值范围是_________

分析：将问题转化为函数f（x）≤0在区间[-1，1]上恒成立的解集的补集，根据函数的图像可知，只需

两个解，则b的取值范围是

f(-1)≤0

，即（下转第195页）≤f(1)≤0

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（1）家庭因素归因：通过家访、家长会等途径与家长沟通，发现其父母对孩子的学习成绩虽然很关心，但教育并不得法。自从孩子中考失利进入职业学校，父母自觉在其他同事和亲戚面前失了面子，抬不起头，于是经常责骂孩子“笨”，毫不掩饰的说对她“彻底失望”、“不抱希望”等话。当我试图与其家长沟通时，她的母亲竟然当着孩子的面告诉老师，“她（指学生）小时候从台阶上摔倒，头上缝过针，智商和记忆力比一般孩子差，所以学习成绩不好，请老师多多原谅。”原来，当孩子学习成绩不如意时，家长不是引导孩子勤能补拙，在努力（内在、不稳定、可控）的因素上下工夫弥补，而是寻找到智商（能力）这样一个内在的、稳定的而又不可控的原因，并且在平时的生活中不断的向孩子灌输这样的思想，这些话给孩子造成一定的伤害，打击了孩子的学习信心。于是教师多次找时间与其家长沟通，要求家长帮助学生树立信心，多表扬和肯定学生每一点一滴的进步，注意引导学生意识到学业失败的关键原因是自身努力不够，而非能力不够。家长愉快的表示愿意配合，接受了老师的要求。

（2）学校因素归因：教师的评价往往起着暗示的作用，给学生提供了归因的线索和凭借。［4］教育者能否对学生的学习行为及结果进行正确的归因，能否给予正确的评价，能否采取公正的态度，对学生今后的学习有重大的影响。当教师认定形成后进生“后进”的主要原因是“能力低下，脑子笨”时，就会认为他不论如何努力也无济于事，这样就对他不抱期望或期望甚少，而这样的期望又会在平时的潜移默化中传达给学生，导致学生消极归因、消极对待学习。王某的学业成绩和在班级的默默无闻均使她成为容易被教师忽略的对象，教师对她的关心不够，对她的学习成绩很少提出更高要求，进步时没有及时肯定，退步时没有注意引导鼓励，时间长了使她的学习动力越来越不足，这在一定程度上导致她对自己的消极评价和错误归因。明确这一点后，教师有意识的在有利于强化她的学习动机的前提下对她的学业成败进行正确归因，热情期待她的进步，进而在平时学习生活中多引导她认识自己， …… 此处隐藏：4606字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……