分数阶导数简介-徐杭

分数阶导数简介

导数的初步推广——分数阶导数的简介

徐 杭

08990217 数学与应用数学 综合理科082班

指导教师：张 翼

数理与信息工程学院

【摘 要】分数阶导数已经在较多地方发挥重要作用。本文首先阐述了分数阶导数的研究现状，然后通过对分数阶导数的几种不同定义, 进行分析与比较, 说明它们的一些联系。并举出了一些实际应用分数阶导数的例子。

【关键词】分数阶导数；Riemann-Liouville定义；Grunwald-Letnikov定义；Caputo定义

1. 引言

分数阶导数，简单来讲就是对整数阶导数理论的拓展。例如，我们一般对某个性质较好的可导函数，可以求出它的一阶导数、二阶导数、 ……、n阶导数。那么我们是否可以对函数求分数阶导数呢？比如1导数。再如某个函数不满足求导条件，我们是否可以使用微2

积分理论对这个函数进行分析性质的研究呢？根据多方文献的参考得知，答案是肯定的，这也是分数阶导数产生的源动力。

早在1695年，Leibniz给L’Hospital写了一封信，问:“整数阶导数的概念能否自然地推广到非整数阶导数。”L’Hospital对这个问题感到很新奇，作为回信他反问了一个简单的问题：“如果求导的次数为1，那么将会是怎样的情况呢？”在这一年的9月30号，Leibniz给2

[1][2]L’Hospital回信写到：“这会导致悖论，不过总有一天会得到有用的结果。”这个特殊的日子1695年9月30号被认为分数阶微积分的诞生日。

自1695年，分数阶导数的研究已经经历了三百多年。但是早期分数阶导数的研究主要存在于理论数学领域。在很长的一段时间内，分数阶微积分的研究没有得到自然科学与工程科学研究人员的关注，基本上没有相关的应用文章发表。分数阶微积分的研究热潮是在二十世纪七十年代，主要原因是因为研究人员发现分形几何、幂律现象与记忆过程[12]等相关现象或过程可以与分数阶微积分建立起密切的联系。分数阶微积分可以作为一种很好的描述与刻画手段。

2. 简单介绍

2.1一般的研究现状与优势

现在关于分数阶导数研究论文每年约1000篇，且正在快速增长。分数阶微积分理论与应用的交流与学术会议日益频繁。每年都有比较大型的国际会议，小型会议越来越多（学术关注度详见图1）。

分数阶导数简介

图1

分数阶导数主要具有以下优势：1.分数阶导数具有全局相关能较好地体现系统函数发展的历史依赖过程；而整数阶导数具有局部性，不适合描述有历史依赖过程。 2.分数阶导数模型克服了经典整数阶微分模型理论与实验结果吻合不好的严重缺点，使用较少几个参数就可获得很好的效果。3.在描述复杂物理力学问题时，与非线性模型比较，分数阶模型的物理意义更清晰，表述更简洁。

2.2数值方法的研究现状

近年来分数阶微积分被广泛的应用于反常扩散、信号处理与控制、流体力学、图像处理

[3]、软物质研究、地震分析

[9][4]、粘弹性阻尼器[10][11][5~8]、电力分形网络、分数阶正弦振荡器、分形理论、分数阶PID控制器设计。但是由于分数阶微积分具有历史依赖性与全域

相关性，增加了分数阶导数方程的数值计算复杂性。

（1）长时间历程问题一直没有找到一个满意的解决 在数值算法方面主要存在的问题有：

途径，在数值模拟中，随着时间历程的增加计算量成指数增长。同时一些学者提出的短期记忆方法只对很少一些情况有效，并不具有普适性。因而长时间历程问题的解决任重道远。（2）在原有算法基础上开发出时间－空间混合的分数阶导数方程的算法和软件。一种数学工具要在工程中有广泛的应用，那么就必须有成熟的算法与软件，像有限元的计算模拟软件就有很多，所以有限元才能在工程界有如 此广泛的应用。（3）分数阶导数的定义还不完善，现在分数阶导数的定义有多种，至今还没有一个完善到大多数学者能够接受的定义。

现阶段，分数阶导数方程的数值算法主要包括[12][12] ：（1）有限差分法：显示格式，隐式格式，Crank-Nicholson格式，预估校正算法，线性算法等；（2）级数逼近法：变分迭代法，Adomian分解法，同伦摄动法，通论分析法，微分转换法等；（3）有限元法；（4）无网格方法；（5）一些新的算法：矩阵转化法，外推法等。

以上这些数值算法各有优缺点，不同的条件与方程适用于不同的算法，这需要我们对各种方法比较熟悉，能够比较灵活的应用。否则很容易得到错误的计算结果。另外一个难点是在数值计算中使用哪一个分数阶导数的定义，这就涉及到定义的选择问题。根据大量文献参考后，一般在时间分数阶导数的计算中一般使用Caputo定义，在空间分数阶导数方程的数值计算中较多的使用Riemann-Liouville定义和级数定义。

3. 分数阶导数的定义

分数阶导数简介

关于分数阶导数的定义，许多数学家各自从不同角度入手, 给分数阶导数分别以不同的定义。其定义的合理性与科学性已在实践中得以检验。这个数学分支的发展已在实际问题中, 得到了广泛的应用。本文这部分重点将分析各种不同的定义,也说明各种定义之间的区别与

dny联系。为了区分整数n阶导数的表示形式n，对于分数 阶的导数，本文引入新的记号dx

D f(x)（下文Riemann-Liouville积分中D f(x)表示 阶积分，在此申明以防混淆）。

3.1Riemann-Liouville定义及性质

下面先阐述在研究中应用得比较广泛的一种分数阶导数的定义：Riemann-Liouville分数阶导数。在定义分数阶导数之前，先来阐述下Riemann-Liouville分数阶微积分。

3.1.1Riemann-Liouville定义

定义1 设f在 0, 上逐段连续，且在J 0, 的任何有限子区间上可积，[1]

对t 0,Re( ) 0，称

1x 1()Df(x) x tf(t)dt （1） ( ) 0

为函数f(x)的 阶Riemann-Liouville积分（简称R-L积分），并且记为f(x) L0 J 。其

中 ( )

分

0e tt 1dt为Gamma函数[2]。 结合上面的 阶Riemann-Liouville分数阶积分的定义以及经典微积分中的整数阶微积[13]可以给出如下的 阶Riemann-Liouville分数阶微分的定义： [1]定义2 设f C 0, , 0,m是大于或等于 的最小正整数(m 1)，记 m 0。则称

D f(x) Dm Df(x) , 0,x 0 （2）

为函数f的 阶Riemann-Liouville微分。

应用定义1可得 阶Riemann-Liouville微分如下：

m D f(x) Dm DfxD () 1x 1xtf(t)dt () 0 ( )

x1Dm (x t)m 1f(t)dt 0 (m )

1 (m )dm xx0 (m 1 m)(3)

m 1f(x t)dt dxm

分数阶导数简介

3.1.2Riemann-Liouville分数阶导数的性质 设f(x)，g(x)是满足定义1的函数，a为任一常数， 为分数，Re( ) 0，则有文献【1】得到以下两条线性的性质：

性质1：D

性质2：D f(x) g(x) D f(x) D g(x)。 af(x) aD f(x)。

3.2分数阶导数的级数定义

分数阶导数的级数定义又称为Grunwald-Letnikov定义。我们先来看整数阶导数的定义。 一阶导数的定义：

f'(x) limh 0f(x h) f(x) （4） h

f(x h1 h2) f(x h1)f(x h2) f(x) limh2 0h2h2(5)h1二阶导数的定义： h2 0f'(x h) f(x)f(x) lim limh 0h1 0h'''lim

通过选择相同变量h,令h …… 此处隐藏：5526字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……