第四章 线性方程组与向量组的线性相关性(第一讲)

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第四章

线性方程组与 向量组的线性相关性

教学目的：通过本章的教学使学生理解向量组线性相 关性、线性组合、线性表示的概念，会判断向量组线性相 关性.掌握向量组的极大无关组和向量组的秩.掌握线性方 程组解的存在性和解的结构，会求方程组的解. 教学要求：会判断向量组的线性相关性；会求解线性 方程组. 教学重点： 向量组线性相关性的判定；线性方程组的 求解. 教学难点： 向量组线性相关性定理的证明.

教学时间：12学时.机动 目录 上页 下页 返回 结束

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第四章

线性方程组与 向量组的线性相关性

§1消元法与线性方程组的相容性1.1 线性方程组的相容性与Cramer法则1、线性方程组的表示法 一般地，n个未知量m个方程的线性方程组可以表示为 a1 1 x1 a1 2 x 2 a1 n x n b1 , a 2 1 x1 a 2 2 x 2 a 2 n x n b1 , a x a x a x b , n2 2 nn n 1 n1 1

(1)

其中x1,x2,…xn是方程组的n个未知量，aij(i =1,2,…,m;j=1,2, …,n)是第I个方程中的第j个未知量的系数，bi(i =1,2,…,m) 是第I个方程的常数项，若记

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a1 1 a 21 A a n1

a1 2 a 22 an2

a1 n x1 x2 a2n , x , a nn xn

b1 b 2 , b bm

按矩阵的乘法和矩阵相等的定义，(1)式可以写成 Ax=b (2) 其中m×n矩阵A是线性方程组(1)的系数矩阵， m×(n+1 矩阵B是方程组的增广矩阵. 设A按列分块为A=(α1,α2,…,αn),则方程组(1) 可表示为 x1α1+x2α2+…+xnαn=b (3)

当b≠0时，即b1,b2,…,bm不全为零时，相应的方程组称为 非齐次的线性方程组.当b=0时，即b1=b2=…=bm=0时，相 应的方程组称为齐次的线性方程组，即

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Ax=0 (4) 2、线性方程组的解 若用常数 1 , 2 , , n 依次代替线性方程组(1)的n个 未知量x1,x2,…,xn时，(1)式中的m个方程均成为恒等 式，则称 x1 1 , x 2 2 , , x n n 为方程组(1)的一个解 .此时也说方程组(1)有解，并称向量 ξ1 ξ 2 ξn

为方程组(1)的解向量，或说x=ξ是Ax=b 的解.

3、线性方程组的相容性 当线性方程组有解时，则说该方程组是相容的，否则 就说它是不相容的.

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显然，齐次线性方程组总是相容的.那末，非齐次的 线性方程组在什么条件下才相容呢？

4、 Cramer法则我们先来看一种特殊的情形，设m=n,且|A| ≠0,即方 阵A可逆，由于其逆是唯一的，所以方程组

有唯一解 x=A-1b, 其中 A1 1 1 A1 2 A A1 n A21 A22 A2 n An 1 An 2 , An n

A

1

从而

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x

1 A

1 A

A1 1 A 2 1 A n 1 b1 A1 2 A 2 2 A n 2 b 2 A1 n A 2 n A n n b n b1 A1 1 b 2 A2 1 b n A n 1 b1 A1 2 b 2 A 2 2 b n A n 2 . b1 A1 n b 2 A2 n b n A n n

记Dj为以b代替|A|中的第j列所得到的行列式a1 1 Dj a 21 a n1 a1 j 1 a 2 j 1 a n j 1 b1 b2 bn a1 j+1 a 2 j+1 a n j+ 1 a1 n a2n a nn , j 1, 2, , n .

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由于bi在Dj中的代数余子式为Aij,将Dj按第j列展开，得 Dj=b1A1j+ b2A2j+…+ bnAnj, j=1,2,…,n. 于是 D1 D2 1 , x A Dn

即方程组(1)的唯一解 x j , j=1,2,…,n .这就是著 A 名的Cramer法则. Cramer法则 n个未知数n个方程的线性方程组Ax=b , 若|A| ≠0,则方程组有唯一解xj Dj A , j 1, 2, , n .

Dj

其中Dj为以b代替|A|中的第j列所得到的行列式.

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例1 解线性方程组 x1 4 x1 2x 1 x2 6 x2 x2 x3 2 x3 x3 2, 2, 1.

解

方程组的系数行列式1 A 4 2 1 6 1 1 1 0 10 3 0 6 2 1 5 3 3 1 8, 2 4 1 2

由于|A|≠0,所以方程组有唯一解.又因为 2 D1 2 1 1 6 1 1

1

2 2 1

1

1

1 6 1

2 2 0, 1

2 8, D 2 4 1

2 8, D 3 4 12

2

所以方程组的解为x1=-1,x2=-1,x3=0.

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1.2

用消元法解线性方程组

1、同解方程组 定义1.1 若线性方程组A1x=b1都是线性方程组A2x=b2 的解；反之， A2x=b2的解也都是A1x=b1的解，则称线性方 程组A1x=b1与A2x=b2同解.2、消元法

线性方程组的求解过程是不断寻求化简的同解方程组 的过程.其实质上是对方程组的增广矩阵施行初等行变换， 使其变成行阶梯形矩阵.在该阶梯形矩阵非零行所对应的 方程中，越下面的方程所含的未知量个数越少.正是利用 这一点，最后求出方程组的解.这种求解线性方程组的方 法称之为消元法.

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例2

用消元法解线性方程组 x1 4 x1 2x 1 x2 6 x2 x2 x3 2 x3 x3 2, 2, 1.

解 对方程组的增广矩阵B施以初等行变换 1 B 4 2 1

1 6 1

1 2 1

2 1 r2 2 2 r r 3 2 2 r1 r3 1

1 0 0

1 2 3

1 2 1

2 2 3

1 r2 2 3 + 0 r2 r3 0

1 1 0

1 1 2

2 1 r3 2 1 r r

3 2 r3 r1 0

1 0 0

1 1 0

0 0 1

2 r2 r1 1 0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

1 1 . 0

于是得方程组的解为x1=-1,x2=-1,x3=0.

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3、线性方程组的相容性 设非齐次线性方程组Ax=b ,其中A=(aij)m×n,且R(A)=r. 不妨设矩阵A的前r列中有r阶的非零子式，对增广矩阵 B=(A,b)施以初等行的换法变换，将非零子式所在的行调整 到前r行，再经过若干次初等行变换将B化为最简型矩阵 1 0 1 0 0 1 c1, r+ 1 c r , r+ 1 0 0 0 c1 n c rn 0 0 0

初等

B ( A, b)

C , d

行变换

d1 dr , d r+ 1 0 0

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它所对应的与原方程组Ax=b 的同解方程组为 x1 x2 xr c1 r 1 x r 1 c 2 r 1 x r 1 c rr 1 x r 1 c 1n x n c 2n x n c rn x n 0 0 0 d 1, d 2, dr, d r 1 , 0, 0.

由于初等变换不改变矩阵的秩，所以 R(A)=R(C)=r, 从而 r, R ( A , b ) R (C , d ) …… 此处隐藏：2341字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……