初中数学竞赛第二轮专题复习(4)几何

初中数学第二轮专题复习

几何

1、如图，D，E分别为 ABC

的边AB，AC上的点，且不与 ABC的顶点重合．已

知AE的长为m，AC的长为n，AD，AB的长是关于x的方程x2 14x mn 0的两个根．

(Ⅰ)证明：C，B，D，E四点共圆；

(Ⅱ)若∠A=90°，且m=4, n=6，求C，B，D，E所在圆的半径．

解：(Ⅰ)连接DE，根据题意在△ADE和△ACB中，AD×AB=mn=AE×AC，即

ADAC

AEAB

．

又∠DAE=∠CAB，从而△ADE∽△ACB 因此∠ADE=∠ACB，所以C, B, D, E四点共圆．

(Ⅱ)m=4, n=6时，方程x2-14x+mn=0的两根为x1=2，x2=12． 故AD=2，AB=12．

取CE的中点G，DB的中点F，分别过G，F作AC，AB 的垂线，两垂线相交于H点，连接DH．

因为C, B, D, E四点共圆，所以C, B, D, E四点所在圆的圆 心为H，半径为DH．

由于∠A=90°，故GH∥AB，HF∥AC．HF=AG=5，DF=故C，B，D，E四点所在圆的半径为5

2、在等腰 ABC中，顶角∠ACB=80°，过A, B引两直线在 ABC内交于一点

12

(12-2)=5．

O．若∠OAB=10°, ∠OBA=20°，求∠ACO的大小，并证明你的结论．

解： ACO 60 （4分）

以OA为轴翻转 OAB到 OAB ，连接CB ,BB ，由 OAB 10 知 BAB 20 且AB AB ， ABB 为等腰三角形，故 AB B 80 ACB，从而知

,C四点共圆，再由 ABO 20 知A,B,B

OBB 60 ， BB O为等边三角形．由四点共圆知

ACB 100 ，又 OBC B BC 30 ，

OB B B，BC公共，故 OBC B BC．

再由 ACB 100 ， ACB 80 ，故 OCB 20 ，从而得证： ACO 60 ．

答题要点： ACO 60

以OA为轴翻转 OAB到 OAB ，连接CB ,BB ① OBB 为正三角形；

②A,B,B ,C四点共圆：因为 ACB AB B 80

B CB B AB 20 ；

③ OBC B BC， B CB OCB 20 ，再由 ACB 80 ，得证： ACO 60 ．

3、如图，在△ABC中，∠A＝60 ，AB＞AC，点O是外心，两条高BE、CF交

于H点．点M、N分别在线段BH、HF上，且满足BM＝CN．

求MH

NHOH

的值．

解：在BE上取BK=CH，连接OB、OC、OK，

由三角形外心的性质知 ∠BOC=2∠A=120° 由三角形垂心的性质知 ∠BHC=180°-∠A=120° ∴∠BOC=∠BHC ∴B、C、HO四点共圆 ∴∠OBH=∠OCH OB=OC BK=CH ∴⊿BOK≌⊿COH ∵BOK=∠BOC=120°，∠OKH=∠OHK=30° 观察⊿OKH，

KHsin120

OHsin30

KH=3OH

MH NH

OH

又∵BM=CN，BK=CH， ∴KM=NH ∴MH+NH=MH+KM=KH=3OH ∴CD的中点．

求证：(Ⅰ)E, F, G, H四点共圆；

(Ⅱ)∠AEF=∠ACB ∠ACD．

证明：(Ⅰ)连结EG, EH, FG, FH, GH，

则FG//BA, FH//BC，所以∠GFH=∠ABC． 又因为四边形DGEH为平行四边形， 所以，∠GEH=∠ADC=∠ABC=∠GFH． 所以，E, F, G, H四点共圆． (Ⅱ)因为E, F, G, H四点共圆，

所以∠GEF=∠GHF=∠ACB．

又EG//CD，所以∠AEG=∠ACD．

故∠AEF=∠GEF ∠AEG＝∠ACB ∠ACD．

平面几何中的几个著名定理

几何学起源于土地测量，几千年来，人们对几何学进行了深入的研究，现已发展成为一门具有严密的逻辑体系的数学分支．人们从少量的公理出发，经过演绎推理得到不少结论，这些结论一般就称为定理．平面几何中有不少定理，除了教科书中所阐述的一些定理外，还有许多著名的定理，以这些定理为基础，可以推出不少几何事实，得到完美的结论，

以至巧妙

=3．

4、如图，在凸四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC，E, F, G, H分别为AB, BD, AD,

而简捷地解决不少问题．而这些定理的证明本身，给我们许多有价值的数学思想方法，对开阔眼界、活跃思维都颇为有益．有些定理的证明方法及其引伸出的结论体现了数学的美，使人们感到对这些定理的理解也可以看作是一种享受．下面我们来介绍一些著名的定理． 1．梅内劳斯定理

亚历山大里亚的梅内劳斯(Menelaus，约公元100年，他和斯巴达的Menelaus是两个人)曾著《球面论》，着重讨论球面三角形的几何性质．以他的名子命名的“梅内劳斯定理”现载在初等几何和射影几何的书中，是证明点共线的重要定理．

定理 一直线与△ABC的三边AB，BC，CA或延长线分别相交于X，Y，Z，则

证 过A，B，C分别作直线XZY的垂线，设垂足分别为Q，P，S，见图3－98．由△AXQ∽△BXP得

同理

将这三式相乘，得

说明 (1)如果直线与△ABC的边都不相交，而相交在延长线上，同样可证得上述结论，但一定要有交点，且交点不在顶点上，否则定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时定理的结论应改为

AX×BY×CZ=XB×YC×ZA，

仍然成立．

(2)梅内劳斯定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边AB和AC上分别取点X，Z，在BC的延长线上取点Y，如果

那么X，Y，Z共线”．梅内劳斯定理的逆定理常被用来证明三点共线． 例1 已知△ABC的内角∠B和∠C的平分线分别为BE和CF，∠A的外角平分线与BC的延长线相交于D，求证：D，E，F共线． 证如图3－99有

相乘后得

由梅内劳斯定理的逆定理得F，D，E共线．

例2(戴沙格定理) 在△ABC和△A′B′C′中，若AA′，BB′，CC′相交于一点S，则AB与A′B′，BC与B′C′，AC与A′C′的交点F，D，E共线．

证 如图3－100，直线FA′B′截△SAB，由梅内劳斯定理有

同理，直线EC′A′和DC′B′分别截△SAC和△SBC，得

将这三式相乘得

所以D，E，F共线． 2．塞瓦定理

意大利数学家塞瓦(G．Ceva)在1678年发表了下面的十分有用的定理，它是证明共点线的重要定理．

定理 在△ABC内任取一点P，直线AP，BP，CP分别与边BC，CA，AB相交于D，E，F，则

证 如图3－101，过B，C分别作直线AP的垂线，设垂足为H和K，则

由于△BHD∽△CKD，所以

同理可证

将这三式相乘得

说明 (1)如果P点在△ABC外，同样可证得上述结论，但P点不能在直线AB，BC，CA上，否则，定理的结论中的分母出现零，分子也出现零，这时，定理的结论应改为

BD×CE×AF=DC×EA×FB，

仍然成立．

(2)塞瓦定理的逆定理也成立，即“在△ABC的边BC，CA，AB上分别取点D，E，F，如果

那么直线AD，BE，CF相交于同一点．”

证 如图3－102，设AD和BE相交于P，作直线CP，交直线AB于F′，由塞瓦定理得

所以 F′B=FB，

即F′与F重合，所以AD，BE，CF相交于同一点． 塞瓦定理的逆定理常被用来证明三线共点．

例3 求证：三角形的三条中线、三条内角平分线和三条高所在的直线分别相交于同一点．

证 (1)如果D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB的中点，则

由塞瓦定理的逆定理得中线AD，BE，CF共点．

(2)如果D，E，F分别是△ABC的内角平分线AD，BE，CF与边BC，CA，AB的交点，则

由塞瓦定理的逆定理得角平分线AD，BE，CF共点． (3)设D，E，F分别是△ABC的高AD，BE，CF的垂足．

(i)当△ABC …… 此处隐藏：4442字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……