关于行列式的一般定义和计算方法

··关于行列式的一些定义和计算方法

关于行列式的一般定义和计算方法

n阶行列式的定义

a11a12

a1na2n ann

n阶行列式

a21a22 an1an2

=

( 1)

(j1j2 jn)

a1ja2j anj

1

2

n

j1j2 jn

a11

D a21

a31

a12a22a32

a13

a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32a33 aaa aaa aaa

132231122133112332

（1

2 N 阶行列式是 N ! 项的代数和;

3、N阶行列式的每项都是位于不同行、不同列N个元素的乘积;

特点:(1)(项数)它是3!项的代数和;

(2)(项的构成)展开式中的每一项都是取自行列式不同行不同列的三个元素之积.其一般项为:

(3)(符号规律)三个正项的列标构成的排列为123,231,312. 它们都是偶排列;

三个负项的列标构成的排列为321,213,132, 它们都是奇排列.

§ 行列式的性质

性质1：行列式和它的转置行列式的值相同。

a11a12

a1na2n ann

a11a21

an1an2 ann

a21a22 an1an2

a12a22 a1na2n

即=；

行列式对行满足的性质对列也同样满足。 性质2 互换行列式的两行（列），行列式的值变号.

如: D=

ac

bd

=ad-bc ,

ca

db

=bc-ad= -D

rj

以ri表第i行，Cj表第j列。交换 i,j两行记为ri Ci

,交换i,j两列记作

Cj。

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性质3：如果一个行列式的两行（或两列）完全相同，那么这个行列式的值

等于零。

性质4：把一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素同乘以某一个常数k

的结果等于用这个常数k乘这个行列式。（第i行乘以k，记作ri

k

）

推论1：一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素的公因式可以提到行

列式符号的前面。

推论2：如果一个行列式的某一行（或某一列）的所有元素都为零，那么行

列式值等于零。

推论3：如果一个行列式的某二行（或某二列）的对应元素成比例，那么行列

式值等于零。

性质5：如果行列式D的某一行（或某一列）的所有元素都可以表成两项的和，那么

行

列

2

式D等

a1na2n

于两

a11a12

个行列

a1na2n

式

D1

a11a12

和

b1 b2

D2

a1na2n

的和。

a1a1a2a2

1 an1an2

a1j b1

2j

a1j a

2j

2

a

b2

=

n

a21a22 an1an2

+

a21a22 an1an2

an jbn an anj ann bn ann

性质6：把行列式的某一行（或某一列）的元素乘同一个数后，加到另一行（或

另一列）的对应元素上，行列式值不变。

推论 如果行列式的某一行（列）的每个元素都是m个数之和(m>2)，则此行列

式等于m个行列式之和。

定义：行列式

aij如果满足：

aij aji(i,j 1, ,n)则称此行列式为对称行列式。

a

ji

一个n阶行列式，如果它的元素满足：aij为奇数时，此行列式为零。

i,j

1,2 n

；试证：当n

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每一行（或列）提出一个（-1），再转置得D=（-1）nD

性质7 行列式的某一行（列）的各元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式的乘积之和等于零。

按行：ai1Aj1按列：a1iA1j

ai2Aj2 ainAjn 0 a2iA2j aniAnj 0

i i

j j

将性质7 与Laplace定理合并为下列结论：

n

k 1n

D

aikAjk

0 D

akiAkj

0

i ji ji ji j

（1）

和

k 1

（2）

行列式的计算

1．利用行列式定义直接计算 例1 计算行列式

00

Dn

n 10

02 00

10 00

00 0n

解 Dn中不为零的项用一般形式表示为

a1n 1a2n 2 an 11ann n!.

该项列标排列的逆序数t（n－1 n－2…1n）等于

(n 1)(n 2)

(n 1)(n 2)

2

，故

Dn ( 1)

2

n!.

2．利用行列式的性质计算

例2 一个n阶行列式Dn

aij

的元素满足

aij aji,i,j 1,2, ,n,

则称Dn为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零. 证明：由aij

a

ji

知aii

aii

，即

aii 0,i 1,2, ,n

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故行列式Dn可表示为

0 a12

Dn a13

a1n

a120 a23 a2n

a13a230 a3n

a1na2na3n 0

由行列式的性质

A A

0a12

a120a23 a2n0 a12

a13 a230 a3na120 a23 a2n

a13a230 a3n

a1n a2n a3n 0

a1na2na3n 0

Dn a13

a1n

( 1)

n

a13 a1n

( 1)Dn

n

当n为奇数时，得Dn =－Dn，因而得Dn = 0. 3．化为三角形行列式

若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。

例3 计算n阶行列式

abD b

b

bab b

bba b

bbb a

解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均相等，根据行列式的性质，把第2，3，…，n列都加到第1列上，行列式不变，得

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a (n 1)ba (n 1)bD a (n 1)b

a (n 1)b

bab b11

bba bbab bba b0 0

n 1

bba b

bbb a b0a b 0

bbb a

b00 a b

[a (n 1)b]1

110

[a (n 1)b]0

0

[a (n 1)b](a b)

4．降阶法

降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式中有较多的零出现，然后再展开。

例4 计算n阶行列式

a0

Dn

0 01

0a0 00

00a 00

000 a0

100 0a

解 将Dn按第1行展开

a0

Dn a0

0

0a0 0

00a 0

000 ( 1) a

n 1

00 01

a0 00

0a 00

00

a0

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a

n

( 1)

n 2

n 1

( 1)a

nn 2

a a

n

.

5．逆推公式法

逆推公式法：对n阶行列式Dn找出Dn与Dn－1或Dn与Dn－1, Dn …… 此处隐藏：5788字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……