线性系统在非平稳随机激励下的响应_王君杰

卷川月

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地震工程『’

与工程振动99

年

月

五

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五

五

之

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N

线性系统在非平稳随机激励下的响应王君杰江近仁国家地震局工程力学研究所

“

要术心亚过义复模态理论把动力学方程降阶使系统的脉冲啊加函数和传迎山数具有简年的形式在此基础卜讨论了一般线{ l系统在演变非平稳随机激励下响应计算的频 J或注和时域江通过炸}刊付颂域江和时域法进行了比较井又J单自山!毯体系泣变非平稳响办动加普知进汀 r研花,`_

`一

,

J二

。

、

,

一

J

。

前地震动过程具有强烈的非平稳性面。

言、

,

主要表现在地震动强度,

J频卒成分和持续时 j。

_

二个方

虽然这种非平稳性早已被认识到,

,

但处理这一问题却是困难的

为解决此困难三

,

许多学

者提出了不同的非平稳随机过程的数学模型些特性,:

试图从不同的方画反映出{卜平稳随机过程的某,

其}较有概于舌性的是只有演变谱密度的非平稳随机过程模型、、, )二

j冬定义为

:

{二_

。

A (才

,

。

,

一。

`

d s (。,

( l ),

, (式日 A t

,

。

, )是切和 t的确定性函数,

称为调制函数

S (

切

)与随机过程万 ( t ):{ J关

在满足式

、

2 )

的条件下

J七关系可E

用F,

o u,

`

i e卜 S t le lt

j

e:

:积分表示为式 ( 3 )的形式

旧

S (。

)d

*

S (“

。

:

)=

」=

功 (。

二

:

)d (。

_

一。

1

) d

必

,

d

口:

( 2 )

丫 (才)

{{一,,

d s (。,

( 3

以上诸式中。和

t

分另1表示频率和时间。

表示共辆,

,

功 (耐表示平稳随机过程尤 ( t )的功

二

率谱密度函数

。

在地震工程中常用的是均匀调制过程

此时 A (:

t

,

l动二矽(

)

,

t功( )

是一个确

定性时间包络函数

这样

,

均匀调制过程 Y (约y (t )二

, 1

1友示为X (t),

劝(才)

·

( 4 ),

t是一平稳随机过程式中尤 ( )“’砂“口·

。

t的形式有多种劝( )“`

但常川的有两种“

即“

:

(·

“

`

一_

,

,

一一一公 )

(

/`“

一

“

’

一

(号 )

一

z`

凸一

“

’

( 5 )

苦

地震科学联含从金资助项}}

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地

震

工

程

与

工

程

振

功

卷

、

:

`

劝

、了、盆`户

`

长一,

一

“

公乓

一ù

长簇卜

相对而言式(6 )

,

式 (

5 ),

的控制参数少

函数形式简单￡`’。

,

因而在理论分析中较多采用

〔`

’

2

’

“’

;

而

灵活性大

因而工程上较多采用

本文的数值分析部分采用的是式 (

5 )

。

二

、

一阶线性系统的非平稳传递函数

考察如下一阶常微分方程x

(t )

一

久x ( t )

=

Y (t)

( 7 )

由常微分方程理论知式中又为

,

方程 (

7 )

的脉冲响应函数为h( t)=e,:

( 8 ):

一复常数

。

从而方程 (

7 )的解可表示为%

(才)

二

{;.

Y`·,““

一,d

·

( 9 )

把式 (

1 )和式 ( 8 )代入式 ( 9 )可得到:%

(才 )

=

H J{

, (。`,·

`

“

`

d s`。,

( 10 )

式 l

L,

万 (。,

,

, )一

J;:

A (

一

,·

-

`

一

’

” (`

一,d

·

( 11)

H (。幼也可以通过解如下方程获得%

(t ),

一

几% ( t )山`,

二

, A ( t切 )e

`田

’

( 12 )

设方程 (

1 2 )的解为

二

(t)

二

M

(

。

t,

)

e`

将其代入式 (( i。一

12 )即

有,

:

dM (0 dt

才)

+

几)几拼(。

,

t)

=

A (t

必

)

( 13)

其特解为

:

了 V j

、。

,

不’

=

J

。

戏气不

,

.’

“

(]4),`

1完全相同可见式 (议 )与式 ( 1 )

。

: )的物理意义在于从而可知 H (。 t

已表达了式 (

7 )

的演变

非平稳解与平稳随机过程 X ( t ) (由式 (函数,

3 )

丧示 )在频域内的关系1 0 )求一,

,

因而可称其为非平稳传递:

它是瞬态传递函数的推广

〔 5 1

。

对式(.

阶导数可得到d s (。,

少(才)

之

!{

“厂 (。

`

,·

`白`

( 15 )

一

线性系统在

平的响川稳随机激励下

万犷(,

。

,

t )

=

, d汀 (。 t ) d才

+

i。

刀 (。

,

t )。

( 16)

t完全相同的原因墓于与万 (。 )

,

t为非平稳速度传递函数称 H厂 (口 ),

根据式 (

1 1 )和式 ( 1 6 ),

可以对各种形式的 A (

t

,

叫求解 H,

(。

,

t )和万犷 (。 5 )有:

,

t

)

,

对于地震工程中采用的 A ( t耐二劝(幼

可以得到其解析表达式门戈 .,

例如对于式 (a

不夕=

“

’

/

e

t

一 e (

毛一`

田

)

e一 b

,

一 e

(

之一

`

戈一。

-

f口一几一一

a

f。一几一`

b

一巾.

( 17

少`厂`。

,

`,

二

二

【 (月.`.

一 a e

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(几一 i。 )一

e

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一

“

)

一

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二

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