1.3.1函数的单调性与导数(2)(含参数问题)(教学设计)

SCH 南极数学人教A 版选修2-2第一单元《导数及其应用》同步教学设计

1.3.1函数的单调性与导数（2）（教学设计）

（含参数问题）

教学目标：

知识与技能目标：

原函数与导函数之间的关系，会求含参数的导数问题。

过程与方法目标：

利用图象为结论提供直观支持，通过观察分析、归纳总结等方式，培养学生的数形结合意识和应用数学知识解决问题的数学思维。

情感、态度与价值观目标：

通过学习本节内容，增强对数学的好奇心与求知欲；在教学过程中，培养学生勇于探索、善于发现的创新思想。

教学重点：含参数问题的求解方法：（1）分离参数法；（2）恒成立问题。

教学难点：利用导数研究函数单调性的实质。

教学过程：

一、复习回顾

1.函数的单调性与导数的关系

在某个区间(,)a b 内，如果'()0f x >，那么函数()y f x =在这个区间内单调递增；如果'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内单调递减．

说明：特别的，如果'()0f x =，那么函数()y f x =在这个区间内是常函数．

2．求解函数()y f x =单调区间的步骤：

（1）确定函数()y f x =的定义域；

（2）求导数''

()y f x =；通分、因式分解。

（3）解不等式'()0f x >，解集在定义域内的部分为增区间；

（4）解不等式'()0f x <，解集在定义域内的部分为减区间．

二、新课：

类型一 导数与单调性的关系

例1 已知函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数y ＝f ′(x )的图象可能是图中的( )

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答案 C

解析由函数y＝f(x)的图象的增减变化趋势判断函数y＝f′(x)的正、负情况如下表：

↗↙↗

由表可知函数y＝f′(x)的图象，当x∈(－1，b)时，在x轴下方；当x∈(b，a)时，在x轴上方；当x∈(a,1)时，在x轴下方．故选C.

反思与感悟 1.利用导数判断函数的单调性比利用函数单调性的定义简单得多，只需判断导数在该区间内的正负即可．

2．通过图象研究函数的单调性的方法：(1)观察原函数的图象重在找出“上升”“下降”产生变化的点，分析函数值的变化趋势；(2)观察导函数的图象重在找出导函数图象与x轴的交点，分析导数的正负．

跟踪训练1已知y＝f′(x)的图象如图所示，则y＝f(x)的图象最有可能是如图所示的()

答案 C

解析本题考查根据导函数与原函数的关系判断图象增减的大致趋势．由f′(x)>0(f′(x)<0)的分界点判断原函数在此分界点两侧的图象的上升和下降趋势．由已知可得x的范围和f′(x)的正、负，f(x)的增减变化情况如下表所示：

↗↘↗

由表可知f(x)在(－∞，0)内递增，在(0,2)内递减，在(2，＋∞)内递增，故满足条件的只有C，故选C.

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类型二 利用导数研究函数的单调性

例2 讨论函数f (x )＝12

ax 2＋x －(a ＋1)ln x (a ≥0)的单调性． 解 函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，

f ′(x )＝ax ＋1－a ＋1x ＝ax 2＋x －(a ＋1)x

. (1)当a ＝0时，f ′(x )＝x －1x

， 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0得0<x <1.

∴f (x )在点(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．

(2)当a >0时，f ′(x )＝a (x ＋a ＋1a )(x －1)x

， ∵a >0，∴－a ＋1a

<0， 由f ′(x )>0，得x >1，由f ′(x )<0，得0<x <1.

∴f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．

综上所述，a ≥0时，f (x )在(0,1)内为减函数，在(1，＋∞)内为增函数．

反思与感悟 1.本题易忽略a ＝0的情况而致错，同时，求函数的单调性一定要注意函数的定义域．

2．利用导数研究函数单调性的方法：

第一步：求定义域，对函数求导；

第二步：解导数等于0时的方程；

第三步：导数大于0的区间与定义域求交集为增区间，小于0的区间与定义域求交集为减区间，即“正增负减”．

跟踪训练2 设函数f (x )＝e x －ax －2，求f (x )的单调区间．

解 f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝e x －a .

若a ≤0，则f ′(x )>0，

所以f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增．

若a >0，则当x ∈(－∞，ln a )时，f ′(x )<0；

当x ∈(ln a ，＋∞)时，f ′(x )>0.

所以f (x )在(－∞，ln a )上单调递减，在(ln a ，＋∞)上单调递增．

类型三 已知函数的单调性求参数的范围

例3 (1)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是________． 答案 [1，＋∞)

解析 由于f ′(x )＝k －1x ，f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增?f ′(x )＝k －1x ≥0在(1，

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＋∞)上恒成立．

由于k ≥1x ，而0<1x

<1，所以k ≥1.即k 的取值范围为[1，＋∞)． (2)若函数f (x )＝13x 3－12

ax 2＋(a －1)x ＋1在区间(1,4)内为减函数，在区间(6，＋∞)上为增函数，试求实数a 的取值范围．

解 函数求导得f ′(x )＝x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]，令f ′(x )＝0得x ＝1或x ＝a －1， 因为函数在区间(1,4)内为减函数，

所以当x ∈(1,4)时，f ′(x )≤0，

又因为函数在区间(6，＋∞)上为增函数，所以当x ∈(6，＋∞)时，f ′(x )≥0，所以4≤a －1≤6，所以5≤a ≤7.

即实数a 的取值范围为[5,7]．

反思与感悟 1.利用导数法解决取值范围问题的两个基本思路

(1)将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立，利用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意．

(2)先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再验证参数取“＝”时f (x )是否满足题意．

2．恒成立问题的重要思路

(1)m ≥f (x )恒成立?m ≥f (x )max ；

(2)m ≤f (x )恒成立?m ≤f (x )min .

跟踪训练3已知函数f (x )＝ax ＋1x ＋2

在(－2，＋∞)内单调递减，则实数a 的取值范围为________． 答案 (－∞，12

) 解析 因为f (x )＝ax ＋1x ＋2，所以f ′(x )＝2a －1(x ＋2)2

. 由函数f (x )在(－2，＋∞)内单调递减知f ′(x )≤0在(－2，＋∞)内恒成立，

即2a －1(x ＋2)2≤0在(－2，＋∞)内恒成立，因此a ≤12. 当a ＝12时，f (x )＝12

，此时函数f (x )为常数函数， 故a ＝12

不符合题意舍去． 所以a 的取值范围为a <12

. 故实数a 的取值范围为(－∞，12

)． 三、课堂小结

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已知函数的单调性求参数的取值范围是一种常见的题型，常利用导数与函数单调性关系：即“若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则'()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解．

四、【课时作业】

一、选择题

1．设f ′(x )是函数f (x )的导函数，将y ＝f (x )和y ＝f ′(x )的图象画 …… 此处隐藏：4255字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……