中考数学压轴题精选(5)(含答案)

全国中考数学压轴题精选精析（五）

50.（08云南双柏）25．（本小题（1）～（3）问共12分；第（4）、（5）问为附加题10分，每小题5分，附加题得分可以记入总分，若记入总分后超过120分，则按120分记） 已知：抛物线y＝ax＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB<OC）是方程x2－10x＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x＝－2．

（1）求A、B、C三点的坐标；

（2）求此抛物线的表达式；

（3）求△ABC的面积；

（4）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（5）在（4）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

2

（08云南双柏25题解析）25．（本小题12分）解：（1）解方程x2－10x＋16＝0得x1＝2，x2＝8

∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC ∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8） 又∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的对称轴是直线x＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为（－6，0）

∴A、B、C三点的坐标分别是A（－6，0）、B（2，0）、C（0，8） （2）∵点C（0，8）在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上

∴c＝8，将A（－6，0）、B（2，0）代入表达式y＝ax＋bx＋8，得

2

0＝36a－6b＋8 解得 0＝4a＋2b＋8

8 b＝－3

a＝－

23

228

∴所求抛物线的表达式为y＝－－＋8

33（3）∵AB＝8，OC＝8

1

∴S△ABC ＝×8×8=32

2

（4）依题意，AE＝m，则BE＝8－m， ∵OA＝6，OC＝8， ∴AC＝10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴

40－5mEFBEEF8－m

即＝∴EFACAB1084

4过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG＝sin∠CAB5FG4440－5m ∴FG·＝8－m EF554

11∴S＝S△BCE－S△BFE（8－m）×8－（8－m）（8－m）

22111

＝（8－m）（8－8＋m）＝8－m）m＝－2＋4m 222自变量m的取值范围是0＜m＜8 （5）存在． 理由：

111∵S＝－m2＋4m＝－m－4）2＋8 且－＜0，

222∴当m＝4时，S有最大值，S最大值＝8

∵m＝4，∴点E的坐标为（－2，0） ∴△BCE为等腰三角形．

51.（08重庆市卷）（本题答案暂缺）28、（10分）已知：如图，抛物线y ax2 2ax c(a 0)与y轴交于点C（0，4），与x轴交于点A、B，点A的坐标为（4，0）。 （1）求该抛物线的解析式；

（2）点Q是线段AB上的动点，过点Q作QE∥AC，交BC于点E，连接CQ。当△CQE的面积最大时，求点Q的坐标；

（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点F，点D的坐标为（2，0）。问：是否存在这样的直线l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

52（08浙江湖州）24．（本小题12分）

已知：在矩形AOBC中，OB 4，OA 3．分别以OB，OA所在直线为x轴和y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．F是边BC上的一个动点（不与B，C重合），过F点的反比例函数y

kx

(k 0)的图象与AC边交于点E．

（1）求证：△AOE与△BOF的面积相等；

（2）记S S△OEF S△ECF，求当k为何值时，S有最大值，最大值为多少？

（3）请探索：是否存在这样的点F，使得将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB上？若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

（08浙江湖州24题解析）24．（本小题12分）

（1）证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，△AOE与△FOB的面积分别为S1，S2， 由题意得y1

12

kx1

，y2

kx2

．

12

12

S1 x1y1

12

k，S2 x2y2

k．

S1 S2，即△AOE与△FOB的面积相等．

（2）由题意知：E，F两点坐标分别为E

12

k

，3 ，F 3 k 4 ， 4

S△ECF

EC CF

1 1 1 4 k3 k ， 2 3 4

12k

12

k S△ECF 12 k S△ECF

S△EOF S矩形AOBC S△AOE S△BOF S△ECF 12

S S△OEF S△ECF 12 k 2S△ECF 12 k 2

112

2

1 1 1

4 k3 k 2 3 4

S k k．

当k

1 1

2 12

6时，S有最大值．

S最大值

1 1 4

12

3．

（3）解：设存在这样的点F，将△CEF沿EF对折后，C点恰好落在OB边上的M点，过点E作EN OB，垂足为N． 由题意得：EN AO 3，EM EC 4

13

k，MF CF 3

14k，

EMN FMB FMB MFB 90， EMN MFB．

又 ENM MBF 90 ，

△ENM∽△MBF．

1

41 k 4 k

ENEM312 ， ，

11MBMFMB 3 k3 1 k

412

1

MB

94

．

2

2

2

211 9 k 222

． MB BF MF， 3 k ，解得k 8444 BF

k4 2132

．

21

存在符合条件的点F，它的坐标为 4 ．

32

53.（08浙江淮安）（本题答案暂缺）28．(本小题14分)

如图所示，在平面直角坐标系中．二次函数y=a(x-2)2-1图象的顶点为P，与x轴交点为 A、B，与y轴交点为C．连结BP并延长交y轴于点D. (1)写出点P的坐标；

(2)连结AP，如果△APB为等腰直角三角形，求a的值及点C、D的坐标； (3)在(2)的条件下，连结BC、AC、AD，点E(0，b)在线段CD(端点C、D除外)上,将△BCD绕点E逆时针方向旋转90°，得到一个新三角形．设该三角形与△ACD重叠部分的面积为S，根据不同情况，分别用含b的代数式表示S．选择其中一种情况给出解答过程，其它情况直接写出结果；判断当b为何值时,重叠部分的面积最大?写出最大值．

54.（08浙江嘉兴）24．如图，直角坐标系中，已知两点O(0，0)，A(2，0)，点B在第一象限且△OAB为正三角形，△OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．

（1）求B，C两点的坐标；

（2）求直线CD的函数解析式；

（3）设E，F分别是线段AB，AD上的两个动点，且EF平分四边形ABCD的周长． 试探究：△AEF的最大面积？

（第24题） （第24题）

（08浙江嘉兴24题解析）24．（1） A(2，0)， OA 2． 作BG OA于G， △OAB为正三角形，

OG

1，BG B(1．

连AC， AOC 90， ACO ABO 60，

3

OC OAtan30

．

C 0 3 ．

（2） AOC 90 ， AC是圆的直径， 又 CD是圆的切线， CD AC．

OCD 30，OD OCtan30 2 D ，0 ．

3

23

．

设直线CD的函数解析式为y kx b(k 0)，

k b 3则 ，解得 ． 0 2k b b

3 3

3

直线CD

的函数解析式为y

（3） AB OA 2，OD

23

，CD 2OD

43

，BC OC

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