量子力学教程第二章课件 Ch2-2011

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CH2. 波函数和Schrodinger方程

§1 波函数的统计解释§2 态叠加原理

§3 力学量的平均值和算符的引进§4 Schrodinger 方程

§5 粒子流密度和粒子数守恒定律§6 定态Schrodinger方程

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§1波函数的统计解释一、波函数

自由粒子的波函数——de Broglie波

描写自由粒子的平面波

i A exp ( p r Et ) 如果粒子处于随时间和位置变化的力场中运动，它的动量和能量不再是常量(或不同时为常量)粒子的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：

(r, t )

描写粒子状态的波函数，它通常是一个复函数。

3个问题？ (1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？ (3) 描写的是什么样的波呢？

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§1 波函数的统计解释

波函数和它所描写的粒子之间的关系？两种错误的看法：

1. 波由粒子组成

如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。

这种看法是与实验矛盾的，它不能解释长时间单个电子衍射实验。 电子一个一个的通过小孔，但只要时间足够长，底片上呈现出衍射花纹。这说明电子的波动性并不是许多电子在空间聚集在一起时才有的现象，单个电子就具有波动性。

事实上，正是由于单个电子具有波动性，才能理解氢原子（只含一个电子！）中电子运动的稳定性以及能量量子化这样一些量子现象。

波由粒子组成的看法夸大了粒子性的一面，而抹杀了粒子的波动性的一面，具有片面性。

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§1 波函数的统计解释

2. 粒子由波组成

电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构，是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大小，波包的群速度即电子的运动速度。什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭加。

平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间，这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义的，与实验事实相矛盾。

实验上观测到的电子，总是处于一个小区域内。例如在一个原子内，其广延不会超过原子大小≈1 Å。

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§1 波函数的统计解释

电子究竟是什么东西呢？是粒子？还是波？

“电子既不是粒子也不是波”，既不是经典的粒子也不是经典的波，但是我们也可以说，“电子既是粒子也是波，它是粒子和波动二重性矛盾的统一。”这个波不再是经典概念的波，粒子也不是经典概念中的粒子。

经典概念中粒子意味着

1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;

2.有确定的运动轨道，每一时刻有一定位置和速度。

经典概念中波意味着

1.实在的物理量的空间分布作周期性的变化; 2.干涉、衍射现象，即相干叠加性。

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§1波函数的统计解释我们再看一下电子的衍射实验 1.入射电子流强度小，开始显示电子的微粒性，长时间亦显示衍射图样; 2.入射电子流强度大，很快显示衍射图样.

P电子源

P

O Q感光屏

Q

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§1波函数的统计解释

结论：衍射实验所揭示的电子的波动性是：许多电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统计结果。在电子衍射实验中，照相底片上 r点附近衍射花样的强度 正比于该点附近感光点的数目， 正比于该点附近出现的电子数目， 正比于电子出现在 r点附近的几率。

波函数正是为了描述粒子的这种行为而引进的，在此基础上，Born提出了波函数的统计解释。

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§1 波函数的统计解释

假设衍射波幅度用Ψ(r)描述，与光学相似，衍射花纹的强度则用|Ψ(r)|2描述，但意义与经典波不同。|Ψ(r)|2的意义是代表电子出现在r点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2ΔxΔyΔz表示在r 点处，体积元ΔxΔyΔz中找到粒子的几率。波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。

因此，描写粒子的波可以认为是几率波，反映微观客体运动的一种统计规律性。这就是首先由Born提出的波函数的统计解释，它是量子力学的基本原理。波函数描写体系的量子状态（简称状态或态）。

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§1波函数的统计解释二、波函数的性质1.几率和几率密度根据波函数的统计解释，波函数有如下重要性质： 在t时刻，r点，dτ=dxdydz体积内，找到由波函数Ψ(r,t)描写的粒子的几率是：

dW (r, t ) C| (r, t )|2 d

其中，C是比例系数。

在t时刻，r点，单位体积内找到粒子的几率称为几率密度。

dW (r, t ) (r, t ) C| ( r, t )|2 d

在体积V内，t时刻找到粒子的几率为：V V

W (t ) dW (r, t )d C | (r, t )|2 d V

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§1波函数的统计解释2.有限性(平方可积)

由于粒子在空间总要出现(不讨论粒子产生和湮灭情况),所以在全空间找到粒子的几率应为1,即：

2 C | (r, t )| d 1

从而得常数 C的值为：

C

若

| ( r, t )| 2 d

1 | ( r, t )| 2 d ,则 C 0,这是没有意义的。

注意：自由粒子波函数不满足这一要求。 i A exp ( p r Et ) 关于自由粒子波函数如何归一化问题，下面

讨论。

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§1波函数的统计解释3.归一化波函数

Ψ(r, t)和 CΨ(r, t)所描写状态的相对几率是相同的，这里的 C是常数。因为在 t时刻，空间任意两点 r1和 r2处找到粒子的相对几率之比是： 2 2

C ( r1, t ) C ( r2, t )

( r1, t ) ( r2, t )

可见，Ψ(r, t)和 CΨ(r, t)描述的是同一几率波，所以波函数有一常数因子不定性。由于粒子在全空间出现的几率等于1,所以粒子在空间各点出现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即Ψ(r, t)和CΨ(r, t)描述同一状态。这与经典波不同。经典波波幅增大一倍(原来的 2倍),则相应的波动能量将为原来的 4倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波无归一化问题。

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§1波函数的统计解释归一化常数： 2| ( r, t )| d A 若Ψ(r,t)没有归一化， 于零的常数),则有 2 | A (r, t )| d 1

(A是大

注意：对归一化波函数仍有一个模为1的因子不定性。也就是说，(A)-1/2Ψ(r,t)是归一化的波函数，与Ψ(r,t)描写同一几率波，(A)-1/2称为归一化因子。若Ψ(r,t)是归一化波函数，那末，exp(iα)Ψ(r,t)也是归一化波函 …… 此处隐藏：2480字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……