2011年中考数学一轮复习教学案39 与圆有关的位置关系(含答案)

◆考点聚焦

知识点

直线和圆的位置关系、切线的判定和性质、三角形的内切圆、切线长定理、弦切角的定理、相交弦、切割线定理

大纲要求

1.理解并掌握利用圆心到直线的距离和半径之间的关系来判断直线和圆的位置关系．

2.能灵活运用圆的切线的判定定理和性质定理以及切线长定理解决有关问题，这也是本节的重点和中考热点，而综合运用这些定理则是本节的难点．

3.能由两圆位置关系写出圆心距与两圆半径之和或差的关系式以及利用两圆的圆心距与两圆半径之和及差的大小关系判定两圆的位置关系．

◆备考兵法

1．确定点与圆的位置关系就是确定该点到圆心的距离与半径的大小关系， 涉及点与圆的位置关系的问题，如果题目中没有明确点与圆的位置关系，应考虑点在圆内、上、外三种可能，即图形位置不确定时，应分类讨论，利用数形结合进行解决．

2.判断直线与圆的位置关系的方法有两种：一是根据定义看直线和圆的公共点的个数；二是根据圆心到直线的距离d与圆的半径r的关系．

3．证明一条直线是圆的切线的方法有两种：（1）当直线与圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连结起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“作半径，证垂直”；（2）当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线， 再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂线，证半径．”

◆ 典例精析

例1（2009山西省太原）如图AB、AC是⊙O的两条弦， A＝30°，过点C的切线与OB的延长线交于点D，则 D的度数为 ．

例2(2009年辽宁本溪)如图所示，AB是⊙O直径，OD⊥弦BC于点F，且交⊙O于点E，若 AEC ODB．

（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）当AB 10，BC 8时，求BD的长．

【点评】圆的切线有三种判定方法：①和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；③过半径外端且和这条半径垂直的直线是圆的切线．在证明时一定要根据题目已知条件合理选择．

例3（2009年四川凉山州）如图，在平面直角坐标系中，点O1的坐标为( 4，0)，以点O1为圆心，8为半径的圆与x轴交于A，B两点，过A作直线l与x轴负方向相交成60°的角，且交y轴于C点，以点O2(13，5)为圆心的圆与x轴相切于点D．

（1）求直线l的解析式；

（2）将⊙O2以每秒1个单位的速度沿x轴向左平移，当⊙O2第一次与⊙O1外切时，求⊙O2平移的时间．

【点评】本题为学科内综合题，它综合考查了圆，函数，平面直角坐标系，解直角三角形以及解方程（组）的相关知识，综合性极强．

OC 4， OAC 60 ．例4（2009年广西河池）如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，

（1）求∠AOC的度数；

（2）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；

（3） 如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动，当S△MAO S△CAO时，求动点M所经过的弧长．

【答案】解：（1）∵ 在△ACO中， OAC 60，OC OA

∴ △ACO是等边三角形

∴ ∠AOC 60°

（2）∵ CP与⊙O相切，OC是半径．

∴ CP⊥OC

∴ ∠P 90°-∠AOC 30°

∴ PO 2CO 8 .

（3）如图2，

① 作点C关于直径AB的对称点M1，连结AM1，OM1 ．

易得S M1AO S CAO， AOM1 60

AM1 ∴ 4π4 60 π 180 3

∴ 当点M运动到M1时，S△MAO S△CAO，

此时点M经过的弧长为4π． 3

② 过点M1作M1M2∥AB交⊙O于点M2，连结AM2，OM2，易得S△M2AO S△CAO． ∴ AOM1 M1OM2 BOM2 60

AM2 ∴ 4π84π8 2 π 或 AM2 120 π 331803

8π． 3∴ 当点M运动到M2时，S△MAO S△CAO，此时点M经过的弧长为

③ 过点C作CM3∥AB交⊙O于点M3，连结AM3，OM3，易得S△M3AO S△CAO ∴ BOM3 60 ，

AM2M3 ∴ 4π168π16 240 πAMM 2 π 或 23180 333

16π． 3∴ 当点M运动到M3时，S△MAO S△CAO，此时点M经过的弧长为

④ 当点M运动到C时，M与C重合，S△MAO S△CAO，

此时点M经过的弧长为 4π2016π4π20 300 π π．

或 1803333

【点评】运动过程中出现多种情况，在分类讨论时一定要注意不重不漏．

◆ 迎考精炼

一、 解答题

1.(2009年四川内江)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，AB＝AD，∠BFC＝∠BAD＝2∠DFC.

求证：（1）CD⊥DF；（2）BC＝

2CD

2.（2009年湖北仙桃）如图，AB为⊙O的直径，D是⊙O上的一点，过O点作AB的垂线交AD于点E，交BD的延长线于点C，F为CE上一点，且FD＝FE．

(1)请探究FD与⊙O的位置关系，并说明理由；

(2)若⊙O的半径为2，BD＝3，求BC的长．

3.（2009年湖南衡阳）如图，AB是⊙O的直径，弦BC＝2cm，∠ABC＝60º．

（1）求⊙O的直径；（2）若D是AB延长线上一点，连结CD，当BD长为多少时，CD与⊙O相切；（3）若动点E以2cm/s的速度从A点出发沿着AB方向运动，同时动点F以1cm/s的速度从B点出发沿BC方向运动，设运动时间为t(s)(0 t 2)，连结EF，当t为何值时，△BEF为直角三角形．

4．（2009年甘肃兰州）如图，在以O为圆心的两个同心圆中，AB经过圆心O，且与小圆相交于点A.与大圆相交于点B．小圆的切线AC与大圆相交于点D，且CO平分∠ACB．

(1)试判断BC所在直线与小圆的位置关系，并说明理由；

(2)试判断线段AC.AD.BC之间的数量关系，并说明理由；

(3)若AB 8cm，BC 10cm，求大圆与小圆围成的圆

环的面积．（结果保留π）