学生版)等差数列的综合运用Microsoft Word 文档

题型13 等差数列的证明

1、已知数列 an 满足a1 4,an 4 （Ⅰ）求证：数列 bn 是等差数列； （Ⅱ）求数列 an 的通项公式

2、已知f(x)

xax b

4an 1

n 2 ，令bn

1an 2

（a,b为常数，a 0），并满足f(2) 1，且f(x) x有唯一解

（Ⅰ）试求f(x)的解析式；

（Ⅱ）如果数列xn f(xn 1)，且x1 0 n 1,n N

，求证数列 x

1

为等差数列 n

等差数列的经典归类

一．递推公式求通项

1.形如an+1-an=f(n)型

（1）若f(n)为常数,即：an+1-an=d,此时数列为等差数列，则an=a1+(n-1) d. （2）若f(n)为n的函数时，用迭加法. 例1. 已知数列{an}满足a1 1,an 3

n 1

an 1(n 2),证明an

3 12

n

练一练1：已知数列{an}满足a1 3，an an 1

1n(n 1)

(n 2)，求此数列的通项公式.

n 1

f(n)型 2.形如a

an

（1）当f(n)为常数，即：

an 1an

q（q≠0），此时数列为等比数列，an=a1 q

n 1

.

（2）当f(n)为n的函数时,用累乘法. 1

a 4 n

例2.设{an}是首项为1的正项数列，且(n+1) a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,…)，则它的通项n公式是an=________.

解：已知等式可化为：(an+1+an)[(n+1) an+1-nan]=0

an 0(n N) (n+1)an 1 nan 0, 即

*

an 1an

nn 1

n 2时，

anan 1

n 1n

an

anan 1

an 1an 2

a2a1

a1=

n 1n 211

1=. nn 12n

评注：本题是关于an和an+1的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）

得到an与an+1的更为明显的关系式，从而求出an.

3. 形如f(Sn,n)=0型

an 可利用公式：

Sn Sn 1 S1

(n 2)(n 1)

直接求出通项an （别忘了讨论n=1的情况！）

例7：已知数列{an}的前n项和为①Sn=2n2-n ②Sn=n2+n+1， 分别求数列{an}的通项公式。 解析：①当n=1时，a1=S1=1

当n≥2时，an=2n2-n-2(n-1)2+(n-1)=4n-3 经检验n=1时，a1= 1 也适合 ∴an=4n-3 ②当n=1时，a1=S1=3

当n≥2时，an=n2+n+1-(n-1)2-(n-1)-1=2n 经检验n=1时，a1=3 不适合 ∴ an

(n 1) 3

(n 2)2n

4.形如an+1=can+d(c≠0且c≠1,d≠0其中a1=a)型

用待定系数法构造辅助数列.

规律：将递推关系an 1 can d化为an 1 数列{an

例3．已知数列{an}中，a1 2,an 1 分析：两边直接加上

d

12an

12

,求通项an.

dc 1

从而求得通项公式an 1

d

c 1c 1ddn 1

c(a1 ) 1 cc 1

c(an

d

),构造成公比为c的等比

c 1

111

解：由an 1 an ,得an 1 1 (an 1),

222

1

所以数列{an 1}构成以a1 1 1为首项，以为公比的等比数列

2

1n 11n 1

1. 所以an 1 (),即 an ()

22

,构造新的等比数列。

5．形如an+1=pan+f(n)型

(1)若f(n) kn b(其中k,b是常数，且k 0) 用构造法 例4．在数列{an}中，a1=1，an+1=3an+2n求通项an.

解：设an+1+p(n+1)+d=3(an+pn+d) 则an+1=3an+2pn+2d-p

an+1=3an+2n ∴2p=2 2d-p=0 则p=1,d=

12

令cn=an+n+∵c1=

52

12

则 cn+1=3cn ， {cn}是等比数列，公比为3

52g3

n 1

则cn ∴an

32

52

3

n 1

n

12

1

n

练一练3：在数列{an}中，a1 ,2an-an-1=6n-3求通项an.(an 9 () 6n 9.)

2

(2)若f(n)=qn (其中q是常数，p≠1且n≠0,1)

an 1an1qn

()n 1n

pqpp

方法:

（i）. 两边同除以pn+1.即： , 令bn

anp

n

，则bn 1 bn

1p

(

qp

),变型为类型1，累加求通项.

n

an 1pan1

（ii）.两边同除以qn+1 .即：n 1n

qqqq 令bn

anq

n

,则可化为bn 1

pq

bn

1q

.然后转化为类型3来解，

(iii).待定系数法：

11n

q 设an+1+λqn+1=p(an+λqn).则an+1=pan+λ(p-q)qn，，令 cn an

p qp q

则cn+1=pcn {cn}是等比数列，可求{cn}通项。 例5.设a0为常数，且an=3n-1-2an-1 ( n N ) ．求通项an.

an 1

an (n 2)p,r,s 0,q 0）型 取倒数法 6、形如（

2an 1 1

an 1

a (n 2)，求通项公式an。 例6. 已知数列{an}中，a1=2，n

2an 1 1

解：取倒数：

1an

1an 1

2

1an

1an 1

2

1an

1a1

(n 1) 2 2n

32 an

24n 3

.

7、形如f(Sn,Sn+1)=0型

方法（i）.看成{Sn}的递推公式，求Sn的通项公式，再转化成类型1-5 （ii）.利用an=Sn-Sn-1转化成关于an和an-1的关系式再求。

例8．已知数列{an}的首项a1=1，前n项和Sn满足关系式3tSn-(2t+3)Sn-1=3t（t为常数且t>0，n=2,3,4…）

（1）求证：数列{an}是等比数列； （2）设数列{an}的公比为f(t)，作数列{bn}，使b1=1，

bn f(

1bn 1

)(n 2,n N)，求bn

2t 33t

解析：（1）由S1 a1 1，S2 a1 a2 1 a2，得3t (1 a2) (2t 3) 3t,a2

2

∴，又3tSn (2t 3)Sn 1 3t，3tSn 1 (2t 3)Sn 2 3t

a2t 33t

a1

得3t an (2t 3)an 1 0，得

anan 1

2t 33t

,n 3,4,

∴ an 是一个首项为1，公比为的等比数列。

3t

2t 3

（2）由f(t)

2t 33t

23

1t

，有bn f(

23

1bn 1

)

23

bn 1

∴ bn 是一个首项为1，公差为

的等差数列，∴bn 1

23

(n 1)

2n 13

。

8、形如f(Sn,an)=0型

利用an=Sn-Sn-1转化为g(an,an-1)=0型或h(Sn,Sn-1)=0型

例9.数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1 1,an 1 Sn 是等比数列. 证明：数列 n n 2

Sn, 方法（1）∵an 1 Sn 1 Sn,an 1

n

n 2n

Sn(n 1,2,3 ).

∴ (n 2)Sn n(Sn 1 Sn), 整理得 nSn 1 2(n 1)Sn,

Sn 1Sn

Sn 2.， 故所以 是以2为公比的等比数列. n 1n n 方法（2）：事实上，我们也可以转化为

SnSn 1

2nn 1

，为一个商型的递推关系，

由Sn

S

SnSn 1

n 1

Sn 1Sn 2

S2S1

S1=2

n 1

n 1n 22n 1n 1

a1 na12 n 2

n 1n 2n 31

n

n

2得， 下面易求证。 n

【变式】数列满足an 2

1an

sn,求证 sn

2

为等差数列

二．数列与方程

例1、在数列 an 中，相 …… 此处隐藏：3224字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……