3.3_排序不等式_课件(人教A选修4-5)

[读教材· 填要点]1.顺序和、乱序和、反序和的概念 设a1<a2<a3<…<an,b1<b2<b3<…<bn是两组 实数，c1,c2,c3,…,cn是数组b1,b2,…,bn的任何 一个排列，则S1=a1bn+a2bn-1+…+anb1叫做数组(a1,

a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的 反序 和；S2=a1b1+a2b2+…+anbn叫做数组(a1,a2,…,an)和(b1,b2,…, bn)的 顺序 和；S=a1c1+a2c2+…+ancn叫做数组(a1, a2,…,an)和(b1,b2,…,bn)的乱序 和.

2.排序原理或排序不等式 设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1,c2,…, a1bn+a2bn-1+…+ cn是b1,b2,…,bn的任一排列，那么，

anb1 ≤ a1c1+a2c2+…+ancn ≤

a1b1+a2b2+…+anb .n

当且仅当 a1=a2=…=an 或 b1=b2=…=bn 时，反序和等

于顺序和.

[小问题· 大思维] 1.排序不等式的本质含义是什么？ 提示：排序不等式的本质含义是：两实数序列同方向单 调(同时增或同时减)时所得两两乘积之和最大，反方向 单调(一增一减)时所得两两乘积之和最小，注意等号成 立条件是其中一序列为常数序列.

2.已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其 中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2= 4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排 列记为c1,c2,c3,c4,c5,则a1c1+a2c2+…+a5c5的最

大值和最小值分别为何值？提示：由顺序和最大知 最大值为：a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=304, 由反序和最小知 最小值为：a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=212.

[研一题][例 1] 已知 a,b,c 为正数，a≥b≥c,求证： 1 1 1 (1)bc≥ca≥ab; a5 b5 c5 1 1 1 (2) 3 3+ 3 3+ 3 3≥a+b+c. bc ca ab

[精讲详析]

本题考查排序不等式的直接应用，解

答本题需要分析式子结构，然后通过对比、联想公式， 构造数组，利用公式求解.

1 1 (1)∵a≥b>0,于是a≤b, 1 1 1 又 c>0,∴c >0,从而bc≥ca. 1 1 同理，∵b≥c>0,于是b≤ c, 1 1 1 ∵a>0,∴a>0,于是得ca≥ab. 1 1 1 从而bc≥ca≥ab.

1 1 1 (2)由(1)bc≥ca≥ab,于是由顺序和≥乱序和得， a5 b5 c5 b5 c5 a5 + + ≥ + + b3c3 c3a3 a3b3 b3c3 c3a3 a3b3 b2 c2 a2 1 1 1 2 2 2 = 3 + 3+ 3(∵a ≥b ≥c , 3≥ 3≥ 3) c a b c b a c2 a2 b2 1 1 1 1 1 1 ≥ 3+ 3+ 3= c+a+b=a+b+ c. c a b

[悟一法]利用排序不等式证明不等式的关键是构造出不等式 中所需要的带大小顺序的两个数组，由于本题已知a≥b≥c, 所以可直接利用已知构造两个数组.

[通一类]π 1.已知 0<α<β<γ< ,求证：sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos 2 1 α> (sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 2 π π 证明：∵0<α<β<γ< ,且 y=sin x 在(0, )为增函数， 2 2 π y=cos x 在(0, )为减函数， 2 ∴0<sin α<sin β<sin γ,cos α>

cos β>cos γ>0.根据排序不等式得：乱序和>反序和. ∴sin αcos β+sin βcos γ+sin γcos α> 1 (sin 2α+sin 2β+sin 2γ). 2

[研一题][例 2] 设 a,b,c 为正数，求证： a12 b12 c12 10 10 10 + + ≥ a + b + c . bc ca ab [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用，解答本题

需要搞清：题目中没有给出a,b,c三个数的大小顺序， 且a,b,c在不等式中的“地位”是对等的，故可以设a≥b≥c,

再利用排序不等式加以证明.

1 1 1 由对称性，不妨设 a≥b≥c,于是 a ≥b ≥c ,bc≥ca≥ab,12 12 12

故由排序不等式：顺序和≥乱序和，得 a12 b12 c12 a12 b12 c12 a11 b11 c11 bc + ca + ab ≥ ab + bc + ca = b + c + a . 1 1 1 又因为 a ≥b ≥c ,a≤b≤ c.11 11 11

①

再次由排序不等式：反序和≤乱序和，得 a11 b11 c11 a11 b11 c11 a+b+c≤b+c+a. 所以由①②得 a12 b12 c12 10 10 10 bc + ca + ab ≥a +b +c . ②

[悟一法] 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，

对于没有给出大小关系的情况，要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系.

[通一类]a1a2 a2a3 a3a1 2.设 a1,a2,a3 为正数，求证： + + ≥a1+a2+a3. a3 a1 a2 证明：不妨设 a1≥a2≥a3>0,于是

1 1 1 ≤ ≤ ,a a ≤a a ≤a1a2, a1 a2 a3 2 3 3 1 由排序不等式：顺序和≥ 乱序和得 a1a2 a3a1 a2a3 1 1 1 + + ≥ · aa+ · aa+ · aa a3 a2 a1 a2 2 3 a3 3 1 a1 1 2 =a3+a1+a2. a1a2 a2a3 a3a1 即 + + ≥a1+a2+a3. a3 a1 a2

[研一题] [例3] 设x>0,求证：1+x+x2+…+xn≥(2n+1)xn. [精讲详析] 本题考查排序不等式的应用.解答本题 需要注意：题目中只给出了x>0,但对于x≥1,x<1没有 明确，因此需要进行分类讨论. (1)当x≥1时，1≤x≤x2≤…≤xn, 由排序原理：顺序和≥反序和，得 1· 1+x· x+x2· x2+…+xn· xn ≥1· xn+x· xn-1+…+xn-1· x+xn· 1, 即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn. ①