高等数学第一章函数与极限试题

高等数学第一章函数与极限试题

一. 选择题

1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，"M N"表示“M的充分必要条件是N”，则必有

（A） F(x)是偶函数 f(x)是奇函数. （B） F(x)是奇函数 f(x)是偶函数.

（C） F(x)是周期函数 f(x)是周期函数. （D） F(x)是单调函数 f(x)是单调函数 2．设函数f(x)

1e

xx 1

,则 1

（A） x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点. （B） x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点

（C） x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点. （D） x=0是f(x)的第二类间断点，x=1是f(x)的第一类间断点.

x 1

3．设f(x)=x

1

，x≠0,1,则f[f(x)]= ( )

1X

1

A） 1－x B） 1 x

4．下列各式正确的是 ( )

C） D） x

A）

lim

x 0

(1+

1)x

x

=1 B）

x

lim

x 0

(1+

1)x

x

x

=e

C）

lim

x

(1－

x ax

) 9，则a ( )。

x x a

A.1； B. ； C.ln3； D.2ln3。

x 1x

) ( ) 6．极限：lim(

x x 1

5．已知lim(

A.1； B. ； C.e； D.e

2

2

1)x

=-e D）

lim

x

(1+

1)x

=e

7．极限：lim

x

x3 =（ ） 3

A.1； B. ； C.0； D.2． 8．极限：limx 1 1=（ ）

x 0A.0； B. ； C 1； D.2．

2

9. 极限：lim(x2 x x)=（ ）

x

A.0； B. ； C.2； D. 1．

2

10．极限: lim

x 0

tanx sinx

=（ ）

3216

A.0； B. ； C. 1； D.16．

二. 填空题 11．极限limxsin

x

2x

. 2

x 1

=_______________.

12.

arctanxlim

x

x 0

13. 若y f(x)在点x0连续，则lim[f(x) f(x )]=_______________；

x x

sin5x

___________；

x x0x

2n

15. lim(1 ) _________________；

n n

14. lim

x2 116. 若函数y 2，则它的间断点是___________________

x 3x 2

17. 绝对值函数 f(x) x

x,x 0;

0,x 0; x,x 0.

其定义域是 ,值域是

1,x 0;

18. 符号函数 f(x) sgnx 0,x 0;

1,x 0.

其定义域是 ，值域是三个点的集合

19. 无穷小量是

20. 函数y f(x)在点x0 连续，要求函数y f (x) 满足的三个条件是 三. 计算题 21.求lim(

x 0

1 x1

). x

x1 e

)=3x-2,求f(x)(其中x>0);

x 5x 2

22.设f(e

x 1

23.求

(3－x)lim　

x 2

;

24.求

lim　

x

(

x 1x

); x 1

25.求

lim　

x 0

sinx2

2

tan2x(x 3x)

x ax

) 9，求a的值； x a

n

n

1n

26. 已知lim(

x

27. 计算极限lim(1 2 3)

n

28.求

它的定义域。 x 2

f x lg 5 2x

x 129. 判断下列函数是否为同一函数：

⑴ f(x)＝sinx＋cosx g(x)＝1

2

2

x2 1

⑵ f(x) g(x) x 1

x 1

⑶ f(x) ⑷ f x

2

x 1 g(x) x 1

2

x 12 g(x) x 1

2

⑸ y＝ax s＝at

2

30. 已知函数 f(x)＝x-1，

求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2) 31. 求

3n2 5n 1lim n 6n2 4n 7

lim

1 2 n

32. 求

n n2

33. 求

n

lim(n 1 n)

34. 求

2n 3nlim

n 2n 3n

35. 判断下列函数在指定点的是否存在极限

sinx,x 0

x 1,x 2

⑴ y x 2 ⑵ y 1 x 0

x,x 0 x,x 2 3

1

x 3x 3

x 3

37. lim2

x 3x 9

36. lim

38. lim

x 0

x 1

x

2x3 x2 1

39. 求当x→∞时，下列函数的极限y 3

x x 12x2 x 1

40. 求当x→∞时，下列函数的极限y 341.

x x 1sin3x

x 0x1 cosx

42. lim 2x 0x

41. lim

1 43. lim 1

n

n

n 3

1 44. lim 1

n

n

45. lim(1

x

2n

1x) kx

x

1 46. lim 1

x

x

47. lim 1 kx

x 0

1x

48. 研究函数在指定点的连续性

sinx

,x 0

f(x) x x0＝0

1,x 0

49. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。f(x) 50. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

1

,x＝1 x 1

1

,x 0

，x＝０ f(x) x

0,x 0

51. 指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。

x2,x 0

，x＝０ f(x)

1,x 0

52. 证明f(x)＝x2是连续函数

53. lim

x 0

ln(1 x)

x

54.

x2 1

lim lnx x 1 x 1

tanx sinx

3255. 试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根 56. lim

x 0

57. 试证正弦函数 y = sin x 在 (-∞, +∞) 内连续。

x，x 0；58. 函数f (x) = x = x，x 0在点x = 0处是否连续？ xsin1，x 0；

59. 函数f(x)= 是否在点x 0连续？ 0，x 0

x. 60. 求极限 limx 0

答案：

一.选择题

1.A 【分析】 本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法找到答案.

【详解】 方法一：任一原函数可表示为F(x)

x

f(t)dt C，且F (x) f(x).

当F(x)为偶函数时，有F( x) F(x)，于是F ( x) ( 1) F (x)，即 f( x) f(x)，也即f( x) f(x)，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则数，从而F(x)

x

f(t)dt为偶函

x

f(t)dt C为偶函数，可见(A)为正确选项.

12

x, 排除(D); 2

方法二：令f(x)=1, 则取F(x)=x+1, 排除(B)、(C); 令f(x)=x, 则取F(x)=

故应选(A).

【评注】 函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过. 请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系? 2. D【分析】 显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑左右极限.

【详解】 由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.

且 limf(x) ，所以x=0为第二类间断点；

x 0

f(x) 1，所以 …… 此处隐藏：4725字，全部文档内容请下载后查看。喜欢就下载吧 ……