2013版【三维设计】高中数学人教A版选修2-1【配套课件】第二章 2

理解教材新知2.2考点一

第 二 章

2.2. 2

把握热点考向第 一 课 时

考点二 考点三

应用创新演练

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2.2.2

椭圆的简单几何性质

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x2 y2 图中椭圆的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 问题 1:椭圆具有对称性吗？

提示：有.椭圆是以原点为对称中心 的中心对称图形，也是以x轴，y轴为对称 轴的轴对称图形.

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问题2:可以求出椭圆与坐标轴的交点坐标吗？提示：可以，令y=0得x=±a,故A1(-a,0),A2(a,0), 同理可得B1(0,-b),B2(0,b). 问题3:椭圆方程中x,y的取值范围是什么？ 提示：x∈[-a,a],y∈[-b,b].

问题4:当a的值不变，b逐渐变小时，椭圆的形状有何变化？ 提示：b越小，椭圆越扁.返回

(1)椭圆的简单几何性质： 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上

图形

标准

方程

y2 x2 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) a2+b2=1(a>b>0)

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焦点的位置 范围

焦点在x轴上 -a≤x≤a且 - b≤y≤b A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b)

焦点在y轴上 -b≤x≤b且 - a≤y≤a A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0), B2(b,0)

顶点 轴长 焦点 焦距

短轴长= 2b ,长轴长= 2a F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) |F1|F2|= 2C返回

焦点的位置 对称性 离心率

焦点在x轴上

焦点在y轴上

x轴和y轴 ，对称中心 (0,0) 对称轴c a(0<e<1) e=

(2)当椭圆的离心率越 接近于1 ,则椭圆越扁；当椭圆的离心率越 接近于0 ,则椭圆越接近于圆.

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1.椭圆的范围从图形上看非常直观，就是椭圆上点的横 坐标、纵坐标的取值范围.利用椭圆的范围可解决有关求范 x2 y2 围或最值问题.设 P(x,y)为椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上任意一 a b 点，由图形易知当 x=0 时，|OP|取得最小值 b,此时 P 位于 椭圆短轴端点处；当 x=± 时，|OP|取得最大值 a,这时 P a 位于长轴端点处.

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2.椭圆的顶点是它与坐标轴的交点，所以必有两个顶点与焦点在同一条直线上，且这两个顶点对应的线段为椭 圆的长轴，因此椭圆的长轴恒在焦点所在的坐标轴上. 3.椭圆中的基本关系：①焦点、中心和短轴端点连线 构成直角三角形，三边满足a2=b2+c2;②焦点到长轴邻

近顶点的距离为a-c(又称近地距离),到长轴另一顶点的距离为a+c(常称为远地距离).

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第一课时

椭圆的简单几何性质

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[例1]

求椭圆4x2+9y2=36的长轴长、焦距、焦点坐

标、顶点坐标和离心率. [思路点拨] 化为标准方程，确定焦点的位置及a,b,x2 y2 将椭圆方程变形为 9 + 4 =1,

c的值，再研究相应几何性质.[精解详析]

∴a=3,b=2, ∴c= a2-b2= 9-4= 5.

∴椭圆的长轴长和焦距分别为 2a=6,2c=2 5, 点坐标为 F1(- 5

,0),F2( 5,0),返回

顶点坐标为 A1(-3,0), 2(3,0), 1(0, A B -2), 2(0,2), B c 5 离心率 e=a= 3 .

[一点通]

已知椭圆的方程讨论其性质时，应先将方

程化成标准形式，不确定的要分类讨论，找准a与b,才能 正确地写出焦点坐标、顶点坐标等.

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